מדע מדויק

אנונימי

הד בר ניסן כתב ש"מדע מדויק" הוא בטוי שאינו מדויק כל צרכו (בדף מילדות לבגרות בגינאה החדשה). ומזה נולד הדיון הבא:

שליחה על ידי הילה* » 31 מאי 2003, 21:13

מדע מדוייק פרושו מדע בו כל התוצאות ניתנות לשיחזור מדוייק. מתמתיקה, כולל הסתברות, ופיסיקה, כולל דינמיקה לא לינארית (כאוס בלשון העם) הם מדעים מדוייקים.

אז ככה:
מתמטיקה איננה מדע (תבדקי ותראי).
ומסתבר שגם בפיזיקה התוצאות לא "מדוייקות" תמיד.
והכל קשור למיתוסים לגבי "מהו מדע".

שליחה על ידי הילה* » 02 יוני 2003, 20:00

בשמת. התוצאות במתמטיקה ופיסיקה ניתנות תמיד לשיחזור, מהסיבה הפשוטה שהן תמיד מוגדרות באופן שניתן לשחזר אותן. הגדרת השאלה היא אולי החלק החשוב ביותר במחקר, בגלל יותר מסיבה אחת. תוצאת ניסוי היא אף פעם לא מספר, אלא תחום בו תמצא התוצאה של כל שיחזור של הניסוי הנ"ל. הוכחות וחישובים תמיד נתנים לשיחזור. בדינמיקה לא לינארית (כאוס) השאלה היא לא מה יקרה לכדור בעוד דקה, כי על השאלה הזאת אי אפשר לענות בדיקנות בגלל בעיות במדידה, לא בחישוב. השאלה ששואלים היא מהם מצבי השבת היציבים של המערכת, אליהם ידעך הכדור בסופו של דבר.
אין כאן שום מיתוס. פשוט דיוק בהגדרות.

"As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, and as far as they are certain, they do not refer to reality. " (Albert Einstein)

תרגום של יונת:
מתמטיקה איננה מדע. מתמטיקה איננה מחקר. החישובים במתמטיקה אינם "ניסויים". הם אינם נעשים "בעולם" ואינם "חוקרים את העולם". זו שיטה. זו פילוסופיה. של מספרים.

שליחה על ידי הילה* » 04 יוני 2003, 20:30

התרגום של מה שיונת כתבה הוא: הקשר בין מתמטיקה למציאות אינו ודאי. זה נכון, אבל לא ממש רלוונטי. מרגע שבחרנו סט קונסיסטנטי של אכסיומות, כל ההוכחות שמסתמכות עליו ניתנות לשיחזור מדויק, ואי אפשר להוכיח דבר והיפוכו, בניגוד למדעים כגון פילוסופיה ואנטרופולוגיה. לכן מתמטיקה היא מדע מדוייק, ופילוסופיה ואנטרופולוגיה לא.
הקשר בין מתמטיקה למציאות קרוי פיסיקה, ולפעמים גם הנדסה. אנחנו בוחרים/מגדירים את סט האכסיומות (=מודל) שניראה לנו כמתאר מערכת מסוימת (=מציאות לעיניינינו), ומשתמשים בכלים המתמתיים כדי לחקור את ההשלכות של המודל שלנו ולגזור ממנו ניבויים. אחר כך אפשר לעשות ניסויים במערכת הנידונה וליבדוק האים היא מתוארת על ידי המודל, כלומר סט האכסיומות. כמו במתמטיקה, מרגע שבחרנו בסט אכסיומות ההוכחות ניתנות לחזרה מדוייקת, ומאחר שהניסויים מוגדרים היטב, הם ניתנים לשיחזור מדוייק. ולכן גם הפיסיקה היא מדע מדוייק.

מרגע שבחרנו סט קונסיסטנטי של אכסיומות, כל ההוכחות שמסתמכות עליו ניתנות לשיחזור מדויק, ואי אפשר להוכיח דבר והיפוכו
אז זהו, שלא בטוח. אולי עודד ירחיב.

All mathematical theorems say the same thing - Nothing
לדעתי - זה של ויטגנשטיין
הטענה היא שכל הוכחה מתמטית ריגורוזית היא (על פי הגדרה) או טריויאלית או שגוייה.

אנסה לחבר את איינשטיין הילה ויונת (ולמי שלמד לפני פחות זמן סליחה על שגיאות במונחים):
אכן במידה והגדרנו סט של אכסיומות וחוקי הקש ניתן (ונהוג) להגדיר מערכת כקונסיסטנטית אם היא לא מאפשרת ליצור (או להוכיח) משפט והיפוכו. מספר מתמטיקאים, ובינהם גַדֶל הראו כי יתכנו מערכות קונסיסטנטיות שאינן מלאות, כלומר שיהיו משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח (או כמובן לסתור) על ידי החוקים של המערכת. הוכח גם כי המתמטיקה שלנו היא כזו, ומכאן האמירה של איינשטיין שמה שמדויק אינו מתיחס למציאות ולהפך.

אני דיברתי על משפט מאוחר יותר שמראה שלא ניתן להוכיח ש"המתמטיקה" * חסרת-סתירה.
_{* "המתמטיקה": מערכת אכסיומות שכוללת נדמה לי את תורת המספרים, ואני לא זוכרת מה עוד. וכן אני קוראת לעזרה את עודד...}

כל המטמתיקה מבוססת על הלוגיקה, ותורת המספרים היא אכן הבסיס ליצוג המספרי של משפטים.
אם אני לא טועה זה פיתוח של משפט גדל שאומר שבעצם לא ניתן להוכיח שמערכת (לא סופית) של משפטים היא קונסיסטנטית.
לא להתלהב, זה לא אומר שהמתמטיקה מכילה סתירות, רק שאי אפשר להוכיח שלא.

ולוגיקה היא פילוסופיה .
זו שיטת חשיבה.
לא חקירה של עולם הטבע (המציאות) אלא בנייה של פילוסופיית מספרים.

צרור הערות:

האם המתמטיקה היא מדע?:
התשובה אינה תלויה בשאלה "מהי המתמטיקה", אלא בשאלה "מהו מדע".
בהגדרות המקובלות של מדע נהוג לדרוש איזשהו קשר למציאות החומרית.
במובן זה המתמטיקה אינה מדע: כל הפיתוחים המתמטיים תקפים גם בהעדר עולם חומרי.

האם אני רוצה לקבל את ההגדרות המקובלות למדע?
לא בטוח. התחושה שלי היא שרובן נסיונות להפשטה של המחקר הפיסיקלי, ולהכללתו למדעים נוספים. הפיסיקה נתפסת כמודל הטהור ביותר של המחקר המדעי, ומנסים ליישר מדעים אחרים לפי המודל הזה. בכימיה זה אפשרי, בביולוגיה זה קשה, בפליאונטולוגיה (חקר המאובנים) זה לא סביר: אי אפשר לדרוש למצוא עוד מאובן (כדי לשחזר את הניסוי), ואי אפשר לעשות "ניסויים" בחקר מאובנים (כדי לבדוק השערות) - או שמוצאים או שלא מוצאים מאובן של אורגניזם מסויים.

אגב, המתמטיקאים מכנים את המתמטיקה "מלכת המדעים".

עוד אגב - בתחום מסויים באנליזה נומרית מחפשים קבוע שיתן את ההתכנסות הכי מהירה. אין כלים מתמטיים לזה, ואנשים מביאים את הקבוע הזה מהנסיון ומהאינטואיציה שלהם לגבי התוכן הספציפי.
המרצה אמר לנו על זה: "זו לא מתמטיקה - זה מדע".
זו ההשקפה האישית של פרופסור משה גולדברג. לא חייבים לקבל אותה, אבל היא מעניינת.

אי אפשר להוכיח מתוך המתמטיקה שאין סתירות במתמטיקה:
בשביל זה לא צריך את משפט גדל. זה הרבה יותר אלמטנרי.
אני אתן הוכחה במקטע נפרד.

על פילוסופיה ומתמטיקה:
ניוטון קרא לספר שלו על פיסיקה בשם הלטיני (האיות ללא כל אחריות - מי שיודע מוזמן לתקן בתוך הטקסט או למחוק את ההערה הזו): Principia Mathematica Philosophia Natura - העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע.
כלומר - ניוטון (וכנראה גם בני זמנו) ראה בפיסיקה ענף של הפילוסופיה - פילוסופית הטבע.
זו תופעה שחוזרת כנראה בהיסטוריה של המדע (ויתקנו או יאשרו הבקיאים ממני):
בהתחלה כל המדעים היו תחת המטריה של "פילוסופיה" (יוונית: פילו - לאהוב, סופיה - חכמה. פילוסופיה - אהבת החוכמה, כולל המדעים).
כל מדע שיצא מתחום הויכוחים העקרוניים ורכש לעצמו מערכת מונחים ומוסכמות, כל מדע אשר יצר לעצמו פרדיגמות, יצא מתחום הפילוסופיה, וזכה לחיים עצמאיים. כך היה עם הלוגיקה, הפיסיקה, המתמטיקה וכנראה גם עם הביולוגיה.

משפט גדל:

מספר מתמטיקאים, ובינהם גַדֶל הראו כי יתכנו מערכות קונסיסטנטיות שאינן שלמות

בואו נשאיר לגדל אל הכבוד שלו: ההיתכנות היא דבר אחד, ודי פשוט.
גדל, ובלי יותר מדי עזרה מאחרים, הראה הרבה יותר מזה: בכל מערכת מתמטית קונסיסטנטית, סבירה ומספיק חזקה יש משפטים נכונים אשר אי אפשר להוכיח אותם (וכמובן גם לא להפריכם).

עכשיו נשארו רק ארבע שאלות להבהיר:

מה זו מערכת מתמטית קונסיסטנטית?
מה זו מערת מתמטית סבירה?
מה זו מערכת מתמטית מספיק חזקה?
איך גדל הוכיח את זה?

אז ככה:

מערכת מתמטית קונסיסטנטית*: כפי שצויין קודם זו מערכת שאי אפשר להוכיח בה טענה והיפוכה. כאשר אפשר להוכיח במערכת טענה והיפוכה אז בדרך כלל אפשר להוכיח בה כל טענה (ואז המערכת לא מעניינת).

מערכת מתמטית מספיק חזקה: כל מערכת הכוללת את חמש האקסיומות של תורת המספרים היא מספיק חזקה. זה כולל את תורת המספרים וכל תורה יותר כללית. זה כולל גם את תורת הקבוצות, אשר עליה אפשר לבנות את תורת המספרים. זה לא כולל, למשל, את הגיאומטריה האויקלידית - היא לא מספיק חזקה. אגב, אם אני לא טועה, המתמטיקאי הענק דיוויד הילברט הראה שכל טענה בגיאומטריה אויקלידית אפשר להוכיח או להפריך. זה נקרא שאפשר להכריע בכל טענה, כלומר: לכל טענה אפשר או להוכיח אותה או להפריך אותה. ניסוח שקול: כל טענה בתחום הגיאומטריה האוייקלידית היא כריעה** (או ניתנת להכרעה).

מערכת מתמטית סבירה*: אני אפתח בדוגמא למערכת מתמטית לא סבירה, ואשר בה כל טענה היא כריעה. המערכת הזו כוללת מספר אינסופי של אקסיומות (עד כאן זה עדיין נחשב סביר). איזה אקסיומות? כאן הטריק: האקסיומות של המערכת הן כל המשפטים הנכונים בתורת המספרים. במערכת הזו כל טענה היא כריעה: אם הטענה נכונה אז היא אקסיומה, ואז היא ניתנת להוכחה, ולכן כריעה. אם היא לא נכונה אז היפוכה הוא אקסיומה (כלומר "הטענה הזו לא מתקיימת" היא אקסיומה), ואז הטענה ניתנת להפרכה, ושוב היא כריעה. כל זה כמובן טוב ויפה, רק שמערכת האקסיומות הזו היא לחלוטין לא שימושית, כי אין לנו דרך לדעת האם טענה מסויימת נמצאת בקבוצת האקסיומות או לא. זו הדרישה ממערכת מתמטית סבירה: שלכל טענה אפשר לדעת האם היא נמצאת בקבוצת האקסיומות או לא.

איך גדל הוכיח את זה:
גדל רכב על פרדוקס השקרן, וניסח פרדוקס יותר מתוחכם. נביט במשפט "זהו משפט שאין לו הוכחה". המשפט הזה חייב להיות נכון, ואין לו הוכחה. הנה הוכחה לכך: אם הוא נכון אז סיימנו. אם הוא לא נכון, אז יש לו הוכחה. מה שאפשר להוכיח הוא נכון. לכן המשפט חייב להיות נכון. כלומר, האפשרות שהמשפט שגוי מוליכה לסתירה.
האם מה שהצגתי כאן אינו מהווה הוכחה?
לא בדיוק, כי זה לא נעשה בכלים לוגיים מדוייקים.
כאשר מביאים את המשפט הזה לניסוח לוגי מדוייק, הסתירה נעלמת (כי ההוכחה שהצגתי כאן אינה מנוסחת באותה מערכת של המשפט).
בכל אופן, גדל לקח את המשפט הזה, וקצת סיבך אותו:

"את המשפט הזה אי אפשר להוכיח מתוך רשימת האקסיומות הבאה: ..."

הגדולה של גדל היתה שהוא הצליח לנסח את כל נפנופי הידים האלה בצורה מתמטית מדוייקת, שבה משפטים והוכחות מבוטאים, לא פחות ולא יותר, אלא באמצעות מספרים שלמים בלבד.

הטענה שגדל הצליח לנסח על ידי מספר היא משהו כמו "אין אף מספר אשר מייצג הוכחה, על סמך מערכת האקסיומות (- - - פירוט של מערכת האקסיומות - - -) למשפט המיוצג על ידי המספר הזה".

ליצור מספר המייצג טענה כזו לגבי מספר אחר זה מורכב מאד, אבל לא מפתיע. הדבר המפתיע הוא שיש תמיד משפט המייצג טענה כזו לגבי עצמו ("... למשפט המיוצג על ידי המספר הזה"). לשם כך נעזר גדל במשפט נקודת השבת של, נדמה לי, טרסקי.

בשנת 1900 נתן המתמטיקאי דייויד הילברט הרצאה, ובה טבע את "עשרים ושלוש השאלות של הילברט" - עשרים ושלושה אתגרים מתמטיים אשר הילברט ראה כראויים ביותר להיפתר במאה העשרים.
אחת השאלות האלו היתה "תן אלגוריתם (הוא לא השתמש במונח אלגוריתם, כי המונח עוד לא היה שגור, אבל משהו דומה), אשר בהינתן משפט מתמטי - מאפשר לקבוע האם המשפט נכון או שקרי".

הוכחת משפט אי-השלמות של גדל (המשפט דלעיל) נתנה תשובה חד משמעית לשאלה הזו של הילברט: אי אפשר לתת אלגוריתם כזה.

פרסום אחר שגדל "קבר" הוא עבודת האדירים של זוג פילוסופים ומתמטיקאים, ראסל ו-ווייטהד, בשם השחצני Principia Mathematica (עקרונות המתמטיקה).
השם הוא שחצני, בגלל שהוא רומז לשם של ספרו של ניוטון אשר הזכרתי למעלה. משהו מעין "אנחנו הולכים לעשות למתמטיקה מה שניוטון עשה לפיסיקה".
כאמור, זה לא ממש עבד - גדל הראה שאחת ההנחות שלהם לא בדיוק תקפה.

ספרים על משפט גדל בעברית:

NS]משפט גדל ובעיית היסודות GetProdInfo[/po].asp?prodid=11430920 (או משהו כזה).
NS]משפט גדל GetProdInfo[/po].asp?prodid=12230606

עכשיו אני מבין למה יונת קראה לעודד לעזרה... (-:
לגבי הפילוסופיה כאם כל המדעים זה בהחלט נכון. עדיין בהרבה מאוד תחומים מי שמגיע לדוקטורט מקבל דוקטורט בפילוסופיה על מחקרו בתחום XX. (אפילו ארכיאולוגיה).

אי אפשר להוכיח מתוך המתמטיקה שאין סתירות במתמטיקה

המקטע הזה יהיה טכני למדי.
אני אצרף דוגמאות, כדי שהוא יהיה יותר קריא, אבל זה יהפוך אותו ליותר ארוך.

טענות וגרירות בלוגיקה

טענה היא דבר שיכול להיות אמת או שקר.
בלוגיקה מסמנים טענות באותיות.
דוגמאות לטענות:

שמונה גדול משבעים (שקר)
קיים מספר המתחלק גם בשבע וגם בתשע (אמת)
כל מספר המתחלק בשמונה - מתחלק גם בשש (שקר)
לכל מספר X קיים מספר Y כך ש- Y גדול מ- X בריבוע (אמת).

יש גם יחסים בין טענות

טענה יכולה להיות אמיתית או שקרית במודל.
לכל טענה יש גם טענה נגדית.
יש יחסי גרירה בין טענות.

ערכי אמת

לטענה במודל יש "ערך אמת", כלומר - אמת או שקר.
הטענה "שמונה מחלק את תשע" היא שקר במספרים שלמים. במספרים רציונאליים היא אמת (המנה היא תשע שמיניות - מספר רציונאלי ולא שלם).

הטענה הנגדית

אם נסמן את הטענה "x הוא מספר גדול מעשר" אז הטענה "לא x" היא הטענה "x אינו גדול מעשר" (וזה שקול לטענה "x קטן מעשר או שווה לו").
באופן דומה, אם נסמן את הטענה "יש אינסוף מספרים ראשוניים שמשאירים שארית שלוש בחלוקה לארבע" באות y, אז "לא y" היא הטענה "יש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים אשר משאירים שארית שלוש בחלוקה לארבע".

יחסי גרירה בין טענות

גרירה מטענה בודדת*: הטענה "x זוגי וגם y זוגי" גוררת את הטענה "y זוגי". באופן דומה, הטענה "x זוגי" גוררת את הטענה "או ש- x זוגי, או ש- y זוגי"
גרירה מזוג טענות*: זוג הטענות "x גדול מ- y" ו- "y גדול מ- z" גוררת את הטענה "x גדול מ- z". דוגמא נוספת: זוג הטענות השקריות "בכל יום חמישי לא יורד גשם" ו- "היום יום חמישי" גורר את הטענה (הנכונה במקרה) - "היום לא יורד גשם". כאשר אחת מהטענות הגוררות אינה נכונה, אז המסקנה יכולה להיות נכונה או שקרית. כאשר שתיהן נכונות - המסקנה חייבת להיות נכונה (אמיתית).

על גרירה ועל אפשרות להוכיח

הטבע הלא אינטואיטיבי של גרירה בלוגיקה

גרירה בלוגיקה אינה מה שנהוג לחשוב.
אומרים שהטענה "A גורר B" היא אמת בשלושה מתוך ארבעה מצבים, ושקר רק ברביעי.
היא אמת בכל אחד מאלה:

אם A נכון וגם B נכון.
אם A לא נכון וגם B לא נכון.
אם A לא נכון וגם B נכון.

הטענה היא שקר רק אם A נכון (אמיתי) ואילו B אינו נכון (שקרי).
כך, למשל, האמירה "אם אחד גדול משבע אז יש פילים ורודים על הירח" היא אמת: גם הרישא (הטענה שלפני הגרירה) וגם הסיפא (הטענה שאחרי הגרירה) הן שקריות - אחד לא גדול משבע, ואין פילים ורודים על הירח.

לא אינטואיטיבי, אבל ככה זה עובד.

כל טענה גוררת כל טענה הניתנת להוכחה

זו נקודה קצת קשה, אבל הכרחית:
כל טענה גוררת שאחד קטן משתים.
למה?
כאשר אומרים "טענה A גוררת את טענה B", המשמעות של זה היא למעשה: "אם מניחים את כל מערכת האקסיומות שלנו בצרוף טענה A, אז אפשר להוכיח את טענה B".
עכשיו, נניח שטענה B היא נכונה ממילא (וגם ניתנת להוכחה), בלי קשר לטענה A. המשמעות של זה היא שאפשר להוכיח את B מתוך האקסיומות בלבד. במקרה כזה ברור שאפשר להוכיח את B מתוך האקסיומות בצירוף A (פשוט לא נשתמש ב- A - A לא תפריע ולא תעזור". לכן מתקיימת הדרישה הצורנית: "אפשר להוכיח את B מתוך מערכת האקסיומות בצירוף A", שמשמעה "A גורר את B".

כך, קצת בניגוד לאינטואיציה, זה נכון ש:

שמונה גדול משבעים גורר שאחד קטן משתים.
שמונה קטן משבעים גורר שאחד גדול משתים.
היום השלושים וחמישה במאי גורר ששבע הוא מספר ראשוני.
"אם אין לחם - אין תורה" גורר שבשבוע יש שבעה ימים.

המבנה הלוגי הסטדנרטי וקיצורי דרך

במבנה הלוגי הסטנדרטי, טענה מובילה לטענה, ולבסוף להוכחה. אבל זה לא הכל - יש גם קיצורי דרך להוכחות.
כל קיצורי הדרך מסתמכים על המבנה הלוגי הסטנדרטי, אבל הם מפשטים בהרבה את העבודה. זה אומר שאם משתמשים בקיצורי הדרך, אפשר לפרוס את ההוכחה עם קיצורי דרך להוכחה בלי קיצורי דרך, במבנה הלוגי הסטנדרטי. ההוכחה החדשה תהיה נכונה וחוקית לחלוטין, אבל ארוכה, מיגעת, וקשה להבנה.

הוכחה בדרך השלילה

אחד מקיצורי הדרך החשובים ביותר הוא הוכחה בדרך השלילה.
קיצור הדרך הזה אומר כך:
כדי להוכיח טענה A מספיק לעשות שני דברים:

להראות את שטענה מסויימת אחרת, B, היא ניתנת להוכחה (ולכן נחשבת גם לנכונה).
להראות שאם לא A אז לא B.

דוגמא: אין מספר ראשוני המסתיים בספרה 6.
הטענה A (שאנחנו רוצים להוכיח): אין מספר ראשוני המסתיים בספרה 6.
הטענה הנגדית, "לא A": קיים מספר ראשוני המסתיים בספרה 6.
הטענה B, שיודעים שהיא ניתנת להוכחה: מספר המסתיים בספרה שש - מתחלק בשתים.
ההוכחה: נניח בשלילה (כך אומרים) ש- A אינה נכונה. כלומר, קיים
אם X הוא מספר ראשוני אז המחלקים היחידים שלו הוא X עצמו ואחד. כיוון שהוא מסתיים בשש,הרי שהוא שונה משתים, ולכן הוא לא מתחלק בשתים. כלומר, לא B.
זו כמובן סתירה לכך שאנחנו יודעים שאפשר להוכיח את B (הווה אומר: ש- X מתחלק בשתים).
בזאת הושלמה ההוכחה לפי דרך השלילה (או, כמו שנהוג לכתוב במתמטיקה: מש"ל. פעם זה היה ראשי תיבות של "מה שכתבתי למעלה" (הטענה שצריך היה להוכיח), והיום זה נחשב ראשי תיבות של "מה שצריך להוכיח". בלועזית נהוג לכתוב QED, שזה ראשי תיבות לטיניים).

עכשיו, אחרי שהנחנו את כל היסודות - קדימה להוכחה:

לֶמָה (טענת עזר): אם יש סתירה במתמטיקה, אז אפשר להוכיח כל דבר.

נקודה לשים לב: אם אפשר להוכיח כל דבר, אז אפשר להוכיח כל משפט, וגם את היפוכו.

מה זה שיש סתירה במתמטיקה? זה אומר שקיימת טענה, אפילו טענה אחת ויחידה, אשר אפשר להוכיח אותה וגם את היפוכה.
זו סתירה, כי לא יכול להיות שגם טענה וגם היפוכה יהיו נכונים.

נניח שיש סתירה במתמטיקה. נניח שהטענה אשר אפשר להוכיח אותה ואת שלילתה היא A. כלומר, אפשר להוכיח את A, ואפשר גם להוכיח את הטענה "לא A".

אמרנו שאפשר עכשיו להוכיח כל דבר - אז נבחר את הטענה שאנחנו רוצים להוכיח. נקרא לה B. נטפל בטענה הנגדית - "לא B".
כיוון שאפשר להוכיח את לא A (מהאקסיומות), וכיוון שכל טענה גוררת טענה שאפשר להוכיח מהאקסיומות, הרי שנכונה הטענה "לא B גורר לא A".
מאידך, כיוון שאפשר להוכיח את A, הרי שמתקיים הזוג הנדרש להוכחה בדרך השלילה:

לא B גורר לא A.
אפשר להוכיח ש- A.

לכן, מהוכחה בדרך השלילה נובע ש- B נכון.

ההוכחה הזו תופסת לכל טענה.

מסקנת ביניים: אם במתמטיקה יש סתירה (כלומר, שוב, טענה אשר אפשר להוכיח אותה ואת היפוכה), אזי כל מה שאפשר לרשום כטענה - אפשר גם להוכיח.

עכשיו, אם אפשר להוכיח מתוך המתמטיקה שבתמטיקה אין סתירה, אז בפרט אפשר לרשום באופן מתמטי את הטענה "במתמטיקה אין סתירה".
נזכור שאם במתמטיקה יש סתירה, אז אפשר להוכיח כל טענה (כלומר, כל טענה שאפשר לרשום באופן מתמטי), ובפרט את הטענה שבתמטיקה אין סתירה.

כלומר, אם בכלל אפשר לרשום במתמטיקה את הטענה "אין סתירה במתמטיקה" (ונדמה לי שאפשר), ואם יש לה הוכחה, אז ההוכחה שלה יכולה לנבוע מכך שזו אמת, אבל יכולה גם לנבוע מכך שיש סתירה במתמטיקה, והסתירה הזו מאפשרת להוכיח כך דבר.

הערה לסיום: בגלל הקושי הזה היו מתמטיקאים אשר לא קיבלו את ההנחות שבבסיס הנחה בדרך השלילה. זה ויכוח ששייך יותר לפילוסופיה של המתמטיקה. אני מתייחס לזה כאל קוריוז - המתמטיקה בימינו מסתמכת הרבה מאד על הוכחה בדרך השלילה, ולא קל לכונן אותה בלי הוכחה בדרך השלילה.

QED == Quod Erat Demonstrandum שמשמעותו בלטינית: מה שהיה צריך להוכיח. (באדיבות בבילון)

אתם חבורה של אנשים מוזרים מאוד - תפתחו חלון יש עולם בחוץ

אולי זה בעצם לא כל כך מצחיק וכדאי למחוק?

שלום.

לדעתי, אם תהיה מצויינת השכלתו של כל משתמש ליד שמו, זה יתרום.

אולי נוסיף שם גם את הגובה שלו.

לדעתי, אם תהיה מצויינת השכלתו של כל משתמש ליד שמו, זה יתרום.
איך סופרים השכלה?
לא. באמת אני שואלת, אני פשוט לא יודעת.

<נגה תוהה מה זה אומר על ההשכלה שלה..>

איך סופרים השכלה?
כמו כל דבר - 1, 2, 3 הרבה

אפשר לבקש מיוחאי שיהיה הראשון ויפרט את השכלתו... ואז נדע איך מציינים.

>איתי תוהה האם זיכרון צילומי לסטטיסטיקה של משחקי כדורגל מקנה נקודות<

> ומה עם שליחת SMSים לכוכב נולד ? <

למישהו יש מושג לגבי ההוכחה של כמות המספריים הראשוניים הקיימים עד למספר N נתון?

בתודה לוויקיפדיה. %D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D[/u]%D7%94%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%99%D7%9D]משפט המספרים הראשוניים
באופן כללי הצפיפות היא 1/logn שבה הבחיהו ג'נדר וגאוס וניסח והוכיח לבסוף ארדש, ולכן הכמות בין 1 ל - n היא n/logn.
לקריאה נוספת: גלילאו

וכמובן, ההוכחות (יש כמה, של ארדש הכי טובה):
http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
http://www.utm.edu/research/primes/howmany.shtml#pnt
http://planetmath.org/encyclopedia/Prim ... eorem.html

אממ יש לי שאלה...
אני רוצה לדעת את ההגדרה המדוייקת של מדע מישהו יכול לתת לי אותה??
כי יש לי מבחן ואני...
ולא מצאתי הגדרה ממש ממשש
אז בבקשה מי שיכול שיעשה את זה מהר.....

מילון אבן שושן:
מדע:

ידיעה, דעת, חכמה.
מחקר שיטתי במקצוע מסויים, מאורגן ומבוסס על עובדות, תצפיות או ניסויים שסוכמו לחוקים לכללים ולאמיתות.

מדע - וויקיפדיה

לאלינור, ההגדרה המקובלת (לפחות אחת מהן) האם תיאוריה היא מדעית היא מבחן ההפרכה, כלומר האם אפשר להציע ניסוי שיש לו תוצאה אפשרית כלשהי
שתסתור את מה שהתיאוריה מנבאת. למשל אם היית זורקת תפוח והוא היה נשאר באויר, כנראה שהיית מצליחה להפריך את תיאורית הכבידה. זו הסיבה הפורמלית שהפסיכואנליזה, למשל, אינה נחשבת מדעית היות וכל מה שאפשר להציע בתור נסיון יכול להכלל בה, כך שאין למעשה אפשרות להפריכה.
חשוב לזכור שהיותה של תיאוריה לא מדעית עדיין אינו אומר שהיא בהכרח שקרית.
מה שיפה בענין הוא שבעצם אין כל דרך להוכיח (במובן המתמטי, הקשה) את נכונותה של תאוריה מדעית אלא רק להפריך אותה ולכן אם ניסוי מראה תוצאות
המתאימות לתיאוריה אומרים שהוא מאשש אותה ולא מוכיח.
בתקוה שזה יעזור לך.

סליחה, עקב חוסר התמצאות בחוקי האתר התוספת האחרונה נוספה בשם פלוני אלמונית במקום בשמי, פלוני אלמונית-התנצלותי!

מאמר מאלף בהארץ על איך פועל המדע, ובמיוחד - איך פועלים המדענים.
מסופר שם על מדען (פרופ' שכטמן) שגילה משהו חדש, שלפי ספרי המדע הקיימים היה בלתי אפשרי. כולם לעגו לו ואף פיטרו אותו, כי הוא טען שגילה משהו בלתי אפשרי (לפחות כך אמרו הספרים).

למישהו עוד יש ספק אם המדע הוא דת?

הנה כמה ציטוטים מהכתבה:

בחודשים הבאים ניסה [שכטמן] לשכנע את עמיתיו למעבדה, שמה שהם רואים אינו גביש מוכר, אך לא נחל הצלחה. "ידעתי שהתצפיות שלי בסדר. לא יכולתי להסביר את התופעה, אבל ידעתי שזה חומר שאף אחד לא ראה לפני, חומר בלתי אפשרי על פי חוקי הקריסטלוגרפיה", הוא אומר.

יום אחד פנה אליו המנהל האדמיניסטרטיבי של קבוצת המחקר שבה עבד. "הוא חייך חיוך של כבשה, הניח ספר לימוד על השולחן שלי ואמר, 'בוא תקרא מה כתוב פה'. אמרתי לו שאני מלמד את הסטודנטים שלי מה שכתוב בספר הזה, ואני יודע שיש כאן משהו שחורג מתחום ההבנה של הספר", מספר שכטמן. 24 שעות לאחר מכן חזר אליו המנהל, וביקש ממנו לעזוב את קבוצת המחקר, משום שהוא "ממיט חרפה" על הקבוצה.

חוקר נוסף ... פרופ' רון ליפשיץ מאוניברסיטת תל אביב, מוסיף כי תגליתו של שכטמן היא "מהפכה מדעית שעדיין נמצאת בעיצומה". הוא מספר שהמדע נדרש לענות עכשיו לשאלות שנחשבו פעם בסיסיות וסגורות, כמו מהו גביש, לצד שאלות חדשות כמו כיצד המבנה הלא-מחזורי משפיע על התכונות של אותם חומרים. "בנוסף, אנחנו צריכים למצוא תחליפים לכלים הניסויים והתיאורטיים שפותחו במשך עשורים רבים, ואינם תקפים עבור גבישים לא-מחזוריים. מאות מדענים ברחבי העולם עוסקים בשאלות האלה, וצפויות לנו שנים רבות של מחקר אינטנסיבי ומעניין עד ששוב נחשוב שאנו מבינים את כל שיש להבין על גבישים. אז נהיה מוכנים למהפכה המדעית הבאה".

"גדולתו של מגלה היא שהוא יודע שהוא מגלה. אנשים נתקלים בדברים ומתעלמים מהם מסיבות כאלה או אחרות. אני יודע על ארבעה מקרים מתועדים שבהם אנשים מצאו את הדבר הזה לפני דני", הוא מספר. אולם משום שבכל הספרים היה כתוב שסימטריה מחומשת לא מתיישבת עם מחזוריות של גבישים, הוא אומר, אותם חוקרים התעלמו ממה שראו

פרופ' דני שכטמן גילה משהו שהעולם סירב להאמין לו

ואני שואל - אולי גם המחקר על הרפואה הקונבנציונאלית מול ההומיאופתיה, למשל, משתמש ב{{}}כלים ניסויים ותיאורטיים שפותחו במשך עשורים רבים, ואינם תקפים להומיאופתיה ?

תודה עודד.
זה מרתק.

דן שכטמן - חתן פרס נובל לכימיה 2011

http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-4131530,00.html

איזה יופי! לגמרי מגיע לו.

למישהו עוד יש ספק אם המדע הוא דת?
אם המדע היה דת, פרופ' שכטמן היה מוקע ככופר, עד קץ הזמנים.
דווקא העובדה שבסופו של דבר התגלית שלו התקבלה כאמת מדעית (עד שמישהו אחר יפריך אותה), מראה שלו מדובר בדת.
ה"אמת" המדעית אינה קבועה והיא מייצגת את סך כל הידיעות שהצטברו עד להווה.

נראה לי שהציטוט הבא מדגים את היחס בין דת למדע: "ואף על פי כן נוע תנוע"

אם המדע היה דת, פרופ' שכטמן היה מוקע ככופר, עד קץ הזמנים.
הוא אכן היה מוקע.
גם בדתות "הרגילות", יש כאלה שתומכים במוקעים, וגם בדתות "הרגילות" יש לפעמים חרטה על האשמת אנשים ככופרים (בנצרות למשל זה קרה לא פעם).

יש הבדלים בין מדע לדת, אבל מי שחושב שיש איזו "אמת" מדעית, ושאפשר להגיע אליה, ושהדרך להגיע אליה היא נקיה ואינה רצופה במכשלות פסיכולוגיות, חברתיות, דתיות, אינטרסנטיות וכו' - אינו אלא טועה.

גם בדתות "הרגילות", יש כאלה שתומכים במוקעים, וגם בדתות "הרגילות" יש לפעמים חרטה על האשמת אנשים ככופרים
נכון.
אבל אם יקום מחר רב ויגיד שלאור "תגליות חדשות", צריך לעדכן את ספר בראשית כך שיכלול את המפץ הגדול והאבולוציה, הוא יוקע לעד. לעולם.
ספר בראשית לא עודכן בעבר ולא יעודכן אף פעם.
בניגוד לספרי המדע.

מי שחושב שיש איזו "אמת" מדעית, ושאפשר להגיע אליה, ושהדרך להגיע אליה היא נקיה ואינה רצופה במכשלות פסיכולוגיות, חברתיות, דתיות, אינטרסנטיות וכו' - אינו אלא טועה.
זה ברור וזה עדיין לא הופך את המדע לדת.