לוח הכפל

אנונימי

יש חוקים פשוטים שיכולים להקל. לא זוכרת את כולם. מי שמכיר, מוזמן להוסיף

איך לכפול ב...

X0 - תמיד 0.
X1 - תמיד = למספר המוכפל.
X2 - להוסיף את המספר לעצמו.
X3 - להוסיף את המספר לעצמו ואז להוסיף את המספר לסכום.
X4 - להוסיף את המספר לעצמו ואז להוסיף את הסכום לעצמו (פעמיים הכפלה ב- 2)
X5 - לכפול ב-10(להוסיף 0 בסוף) ואת התוצאה לחלק ב-2.
X6 - אפשר לכפול ב- 5 ולהוסיף למספר, אפשר לכפול בשלוש ואז בשתים.
X7 - טכניקת חישוב - להשתמש בשבועות לחישוב זמן (במקום חודשים או ימים) (בין הספרות, זה המספר שהכי קשה לכפול ולחלק בו)
X9 - לכפול ב-10(להוסיף 0 בסוף) ולהפחית מהתוצאה את המספר המוכפל.

דוגמא: 69= 60-6

[h=4]

54 ; 200[/b]9 [/h] 2000-200= 1800
וגם: כדי לקבל את ספרת העשרות מפחיתים מהמוכפל 1, וכדי לקבל את ספרת האחדות מחסרים את המוכפל מ- 10.

X11 - חד ספרתי - כותבים את הספרה ליד עצמה. לדוגמה: 112=22 או 119=99.

דו ספרתי - מפרידים בין שתי הספרות (כך שאחת היא האחדות, והשניה המאות) ושמים ביניהן (במקום של ספרת העשרות) את סכומן (לדוגמא, 3511=385); אם הסכום גדול מעשר - מגדילים את ספרת המאות באחד ושמים רק את ספרת האחדות באמצע (לדוגמא, 6811=748.)

איך לדעת אם מספר מתחלק ב...

^{ללא שארית}

2 - הספרה האחרונה מתחלקת ב-2 (0, 2, 4, 6, או 8)
3 - סכום ספרות המספר מתחלק ב-3 (כלומר 3, 6, או 9; ואם הסכום גדול מ-10, אפשר לחבר שוב את הספרות. לדוגמא 96 - סכום הספרות 15 - סכום הספרות 6).
4 - שתי הספרות האחרונות הן מספר שמתחלק ב-4 (יש די הרבה כאלה...)
5 - מסתיים ב- 5 או ב- 0
6 - מתחלק גם ב- 2 וגם ב- 3. הספרה האחרונה זוגית וסכום ספרות המספר מתחלק ב-3.
7 - שבע זו בעיה. לגבי מספרים ענקיים (יותר משש ספרות) יש אפשרות להקל קצת את הבעיה: מחלקים את המספר לשישיות של ספרות (החל בצד ימין), מחברים את השישיות, ובודקים אם הסכום מתחלק ב- 7.
8 - שלוש הספרות האחרונות הן מספר שמתחלק ב-8 (יש המון כאלה).
9 - סכום ספרות המספר מתחלק ב-9 (כלומר: הוא 9, או מספר שבעצמו מתחלק ב-9, קטן יותר מהמספר המקורי)
10 - מסתיים ב-0
11 - כאשר מחסרים ומחברים את הספרות לסירוגין מתקבל מספר שמתחלק ב-11 (כולל 0).

דוגמאות: 143 מתחלק ב-11 כי 1-4+3=0 ו-0 מתחלק ב-11. 123458 מתחלק ב-11. 90904 מתחלק ב-11.

נאוה, עדי, דור דניאל, עודד לבנה

תגובות ל-למה אתה עוד לא יודע את לוח הכפל מאת דני לסרי, מתוך באופן 42.
ראו גם: תגובות לגליון 42, מדור לימודים.

אני כותבת כאן בתור "נפגעת לוח הכפל " בלשון המעטה ...עד היום דרך אגב אני מזיעה מסמיקה ומחרחרת כששואלים אותי כמה זה 7 כפול שמונה. אני זוכרת ,כמו היום , את ההרגשה שאני לא שווה כלום בגלל שאני לא יודעת את לוח הכפל וכמובן מתמטיקה בכלל עד התיכון (כולל) אף פעם לא חשבו להגיד לי בבית הספר שזה בסדר לא לדעת הכול..או משהו בסגנון , למזלי יש לי אמא שדאגה להזכיר לי שלא כולם טובים בהכול והנה אני מוכשרת במוסיקה ובמחול ובספרות ותנ"ך ובחשבון לא..אבל דעת המורים והחברים לכיתה ,הרי היא הקובעת ...והתחושה הזאת של הידיים המיוזעות ששאלו אותי בכתה על מכפלה שלא ידעתי מהדהדת לי בראש באופן חזק...אז תודה על המאמר הזה למדתי דרכו רבות על "הידע" הזה שנרכש ועל מקומו האמיתי...

נורא רציתי שמישהו שמתנסח יותר טוב ממני יגיד משהו על ההשמצה הפרועה של לוח הכפל במאמר של דני לסרי. כיוון שבינתיים לא נשמע אף קול פרט לקולה של דנה ל ששמחה על המאמר אני נאלצת להסתכן פה.
אני לא מתיימרת להגיב על המחשבות העמוקות לגבי מיקום, סימון וחיפוש אנשים בעזרת הידע שלהם. היה לי קצת קשה לקרוא ולא ממש ירדתי לסוף דעתו של דני לסרי. אני גם מבינה שלוח הכפל משמש לו רק כדוגמא לצורך של המערכת (אמאל'ה) למצוא אנשים. ובכל זאת - לוח הכפל?
לגבי הטענה כי זו דוגמא מצויינת כיוון שלוח הכפל הוא טבלה: נו, באמת. אז נפסול כל מה שהוא בצורת טבלה?
אני שותפה להרבה מהביקורת על מערכת החינוך ומזדהה עם התחושות הרעות של דנה ל לגבי בחנים בעל-פה בכיתה מול כל התלמידים.
אין גם הרבה חומר בתוכניות הלימודים שבאמת אני נושאת עימי כל חיי, אבל לוח הכפל משמש אותי כמעט כל יום.
כל אנשי באופן, הקרובים לאדמה כל כך, מסתובבים עם מחשבון צמוד? יש בכלל כיסים בשרוואל?
לא הלכתם אף פעם לסופר עם עשרים שקלים בכיס וניסיתם לחשוב כמה יוגורטים ב 2.65 אתם יכולים להרשות לעצמכם לקנות? לא הייתם צריכים לשלם לעוזרת בית על 9 שעות עבודה ב 35 שקלים לשעה?

ברור לי, כמו להרבה פה, שבית ספר הוא לא מקום טוב ללמידה. אבל למידה היא לא מילה גסה. לא לדעת את לוח הכפל מבחינתי זה כמו לא לדעת לקרוא. ידע נחוץ ושימושי ביותר שבלעדיו אני מוגבלת.

אה, אבא שלי הוא מהנדס חשמל (למד בטכניון), יש לו משרד עם עשרים עובדים, הוא חבר בועדות תקינה בתחום החשמל, והוא לא יודע את לוח הכפל. כלומר, הוא יודע בע"פ משבצות מסויימות מלוח הכפל, אבל את רובו הוא מחשב בכל מיני פטנטים. (לדוגמא: כמה זה 8 9? "אה, זה פשוט" הוא יאמר, "מכפילים 8 ב-10 ומפחיתים 8 אחד".) ניסיתי פעם לעשות איתו תחרות בחישוב של תרגילים של כפל בע"פ והוא משיג אותי בקלות (רק לשם ההבהרה, אני כן* זוכר את לוח הכפל, ומחשב די מהר בע"פ). יש הרבה דרכים לפתור בעיות מתמטיות, ולא כולן כוללות ידיעה בע"פ של לוח הכפל ו/או מחשבון.

גם אני לא יודעת את לוח הכפל. ועירית, הערות שאני חטפתי מהמורים על זה שאני לא יודעת אותו! חבל על הזמן.
מה לדעתך יגרום לנזק גדול יותר - העמידה בגיל 8 מול כיתה, כשאת לא יודעת את התשובה והמורה מדברת אליך קול מזלזל (ועושה את זה שוב ושוב לאורך השנים), או שימוש במחשבון?
כשמתקילים אותי בשאלה כמו 9 * 8 אני מחשבת כמו אבא של רועי שרון (אבל בטח לא מהר כמוהו

).
אי ידיעת לוח הכפל מעולם, אבל מעולם, לא מנעה ממני לימודי מתמטיקה ברמה הכי גבוהה שיש בתיכון, ואחרי זה גם במסגרת האוניברסיטה.

למידה זו לא מילה גסה, אבל הקאה של חומר היא לא למידה ובטח לא מעידה על הבנת התהליך המתמטי.

קודם כל, נעה, חשבתי שהבהרתי שמה שכתבתי לא היה הגנה על אופן הלימוד בבית הספר, אלא להפך. כמו כן, לא ניסיתי להגיד שידיעת לוח הכפל הכרחית להבנת התהליך המתמטי. רק דיברתי על השימושיות הרבה שלו ועל כך שלדעת את לוח הכפל זה מקל על החיים.
אלף פעם שמעתי תלונות ,בבית ספר, באוניברסיטה, בעבודה בסגנון: "למה אני חייב לעשות קורס בסטטיסטיקה, אני בחיים לא אשתמש בזה."
אי אפשר להגיד את זה על לוח הכפל.
ולגבי ידיעה חלקית של לוח הכפל והשלמה בעזרת מניפולציות מתמטיות - זה מבחינתי אותו דבר. היתה גם דוגמא בגליון של תאומים שעובדים בשיטה דומה לזו של אבא של רועי ושל נעה. גם אני עושה קיצורי דרך כאלה כשאני כופלת ב 9, אבל לא כשאני כופלת ב 7. אבל לדעת לכפול 4 ב 8 ולא לדעת לכפול 8 ב 8 זה בעצם לדעת לוח כפל, רק אולי לא את לוח ה כפל ה מלא. אי אפשר לזוז בלי לדעת משהו בעל פה.

שוב אני חוזרת - למרות שלא הבנתי לגמרי מה דני לסרי ניסה להגיד, אני חושבת שהדוגמא שעליה ביסס את כל התיאוריה לא מתאימה.
למה לוח הכפל נעשה למין שם מאיים, מין דגל אדום שמנפנפים בו? בגלל שיטת הלימוד והכפייה בבית ספר, לא בגלל מהות הדבר.

עירית, הבנתי מה שאמרת |קול מפייס|. אני חושבת שדני לסרי ניסה לומר שלוח הכפל הפך להיות מטרה, כשלמעשה הוא רק אמצעי. ואמצעים, כידוע, יש הרבה.
מלוח הכפל אפשר להשליך על כל מערכת החינוך ומה שקרה לה ב-100 שנים האחרונות.

נעה, בכלל לא התרגזתי ואני מפוייסת להפליא

אם מה שדני לסרי ניסה להגיד, זה מה שאת הבנת, אז אני חותמת על כך.
לי היתה תחושה כשקראתי את הכתבה שתוך הנסיון שלו להוכיח שהידע שנכלל בתוכניות הלימודים הוא מכשיר בידי המערכת להפוך אותנו ל "רק עוד לבנה בחומה", הוא שכח שיש גם דברים שנלמדים ושפשוט שווה לדעת. הידע הוא לא רק מכשיר אינסטיטואליזציה (יש מילה כזו?), אלא לפעמים הוא פשוט ידע.
אין דין דיון במורשתו של גנדי, כדין לימוד לוח הכפל. האחד מכשיר פוליטי בלבד והשני ידע תמים לדעתי.

עירית, ראשית מתוך היכרות שלי עם דני ומתוך כתיבתו יהיה זה לא נכון להניח כי
הוא שכח שיש גם דברים שנלמדים ושפשוט שווה לדעת לפחות בכתיבתו דני לא שוכח דברים.

על פי דברי דני לוח הכפל בהחלט מהווה דוגמא - סמל לטענתו העיקרית במאמר. סמל זה נתפש באופן זהה אצל ה"נורמליים". לכן לוח הכפל בהחלט תופש מקום חשוב במאמר כולו.

אבל, בתוך המאמר כמדומני, מצביע דני על ה"תירוצים" לחשיבות שבידיעת לוח הכפל. וזה בדיוק מה שקרה כאן, עלו סיבות המצדיקות כביכול את השימושיות של לוח הכפל, אבל זה לא העניין, השימושיות של לוח הכפל, העניין הוא בעצם ידיעתו, זה מה שהופך את האדם נורמלי.
לוח הכפל עצמו אינו רלוונטי כלל ועיקר, מכיוון שכל העניין הוא הכוח שמצטבר עקב ידע, הכוח שמצטבר בידי מי שמאשר את הידע כידע "נכון" או "נחוץ" והכמיהה שלנו אחרי אותו כוח מובטח באותו ידע "נכון" (לוח הכפל). מה שנותן לנו את אישור הקיום שלנו - "היותנו נורמליים".
על כך המאמר. זו תמציתו.

תודה צפריר על התמצות הבהיר.
אני באמת לא מכירה את דני לסרי והשכחה שייחסתי לו היתה יותר מעין תלונה על כיפוף עובדות לצרכי תיאוריה.
אולי אני פשוט לא מתחברת לאופן הכתיבה שלו, שהזכיר לי מאבקים מעברי עם טקסטים אקדמיים. הפסקה שלך, התמצית - זהב.

בני ממציא עכשיו את לוח הכפל.
הוא פשוט סופר בקפיצות (2,4,6,8 או 3,6,9,12 וכו')
ואז הוא לאט לאט קולט מה כל הקפיצות הלאה אמורות לבטא. מענין כשהם ממציאים את זה לבד. אגב הוא שאל אותנו למה אף פעם אל מגיעים נגיד ל13 אז נאלצנו להסביר לו מה זה מספר ראשוני, והוא רק בן 6, מה יחשבו עלינו?!- שאנחנו דוחפים אותו למחוננות? אוי...

נאלצו בכלל להסביר לו כל מיני דברים-
כי
"אמא כמה זה 2 פחות 3?" (נכון, המספרים השליליים)
" אבא מה המספר הגדול ביותר בעולם?" (נכון, אין סוף)
"אמא איך כותבים חצי? ומה אם אוסיף שליש לחצי?" (נכון, שברים.)
מה נעשה איתו?
אגב בכיתה הם עדיין לומדים "יותר ופחות, לפני ואחרי, למעלה ולמטה" ומספרים 1,2. הוא דוקא לא מתלונן. כבר קלט שאין קשר בין בית הספר ללמידה.

חבצלת, איזה כיף של ילד

מה אכפת לך מה יחשבו עליך? את לא דוחפת אלא הוא מושך. בכלל, אי אפשר לדחוף למחוננות, רק לתיסכול.

אגב, התשובה הנכונה ל אבא מה המספר הגדול ביותר בעולם ? היא "אין מספר כזה". אינסוף זה לא מספר. לדעתי עדיף בכלל לא לדבר על אינסוף, אלא להסביר "אינסופיות" כתכונה של המספרים (ושל עוד דברים... אם רוצים להיכנס לזה).

מה נעשה איתו? תקנו לו ספרים על מתמטיקה (ולא על אריתמטיקה, וודאי לא על לוח הכפל!) אני לא ממש מכיר ספרים טובים לילדים בעברית - אשנב למתמטיקה של האוניברסיטה הפתוחה נחמד מאוד אבל אולי לא מתאים לגיל 6. ואולי כן? תלוי בילד.
הכי חשוב, אל תתנו לו תשובות מהשרוול, אלא תנו לו למצוא את התשובות בעצמו.

רק אתמול יהונתן שאל:
אימא, כמה זה 10*10? 100 עניתי, והוספתי את ההסבר. אח"כ שיחקנו בהכפלה ב- 10 עד למאות ולאלפים - קלט מהר ובקלות.
הלוואי הכל ילך ככה.
אנחנו גם מתאמנים על דברים כמו:
52 זה כמו 5+5 - פעמיים 5 וכך הלאה.

ספירה בהקפצות
חישובים במשחק מונופול כמו: כמה עולה לקנות 3 בתים ב- 40?

חבצלת,
אתמול יהונתן שאל גם על המספר הכי גדול והסברתי לו על האין סוף

אבל... עד לגילוי דף זה, לא התעמקתי במשמעויות, מעבר לזה שקלטתי כבר מזמן שהוא לומד חשבון בסדר שונה מ'המקובל'

אגב, לכל המודאגים, אני אומרת ומרגיעה:
הוא יודע להשתמש במחשבון, אז בעולמנו המודרני, הוא תמיד יידע מה שהוא צריך

עוד פטנט נחמד לכפולות של 9:
פורשים את שתי כפות הידיים אחת ליד השניה, מקפלים את האצבע של הכפולה המבוקשת, ואז קוראים את התשובה - מצד אחד של האצבע המקופלת רואים את העשרות ומהצד השני את האחדות.
לדוגמא 3 כפול 9, מקפלים את האצבע השלישית, ורואים מצד אחד שתי אצבעות ומהצד השני שבע אצבעות, כלומר 27.
אמא שלי למדה אותי כשהייתי ילדה ומאוד אהבתי את זה. טריק שגורם להתידדות עם לוח הכפל.

מדהים! עד היום יש לי בעיה קלה עם כפולות של 9 (ואני למדתי חשבון ברוסיה, כן?;-))...מיד לקחתי לשימושי!
נאוה- זה מזכיר לי שבאמריקה בבחירות האחרונות ראינו בדיוק מה קורה כשאנשים יודעים רק להשתמש במחשבון;-)...לקח להם שנה להחליט מי הנשיא כי הם לא יודעים לספור...

עדי- אנחנו באמת מסבירים לו כמיטב יכולתנו והבנתנו אבל לא תמיד זה מספיק טוב, אז אולי באמת מישהו יכול להמליץ על ספרים טובים במתמטיקה לגיל הרך?
אבל- הקטע של האין-סוף? זה חשוב נורא! הוא בגיל הזה שחייבים לדעת "מה הכי גדול"! זה ממש סלע קיומם! גם אם זה לא מדוייק שאין סוף זה מספר הכי גדול, אבל זה הכי קרוב לאמת. "אין מספר כזה" לא מקובל עליו, אז הוא בא לנו עם תשובות כמו "מיליארדי מיליארדים" ששמע מחבר. עדיף כבר שידע שזה "אינסוף" (אגב הוא טוען שזה "אינסוף +1"!!!)

עוד מונח שימושי בנושא הזה: גוּגְל (googol) הוא המספר ¹⁰⁰ 10, כלומר הספרה 1 ואחריה 100 אפסים.
ולילדים מתחכמים במיוחד: גוּגְלפְּלֶקְס (googolplex) הוא המספר ^גוגל 10, כלומר הספרה 1 ואחריה גוגל אפסים.

גוגלפלקס הוא מספר כל כך גדול שאין מספיק מקום לרשום אותו אפילו אם נקח את המרחק מכדור הארץ לכוכב הרחוק ביותר ביקום ונרשום את הספרה 0 בכל סנטימטר של הדרך. במונחים ארציים, גוגל יותר גדול מכמות גרגרי החול שעל כדור הארץ, ויותר מכמות הטיפות שבכל הימים. גדול למדי עבור רוב הילדים.

אז תציעי לו אינסוף+2. הוא כבר יגיע בעצמו ל אינסוף+3.

חבצלת: גם אם זה לא מדוייק שאין סוף זה מספר הכי גדול, אבל זה הכי קרוב לאמת - אל תזלזלי בילד שלך. הוא מסוגל להבין שאין "מספר הכי גדול" - העובדה שמייד חשב על "אינסוף + 1" מעידה על מחשבה נכונה.
אם לא מתאים לך לאכזב אותו, תגידי "אני לא יודעת. מה אתה חושב?" אני מהמר שתשמעי ממנו די מהר את המסקנה שאין מספר הכי גדול, או "אין סוף למספרים", וזה רעיון הרבה יותר חשוב מלוח הכפל.

לעניין כותרת הדף:

לוח הכפל כשלעצמו הוא בסך הכל ריכוז קצת תוצאות בצורה טבלאית כדי שיהיה קל לחפש בו. יש עוד כמה לוחות שמיועדים למטרות דומות (לוחות לוגריתמים וסינוסים, משולש פסקל, ואולי עוד משהו ששכחתי). אלה בסך הכל כלי עבודה כמו המחשבון המודרני, רק קצת יותר עתיקים.

אני משער שחמתו של דני לסרי יוצאת על הרעיון שצריך לדעת את לוח הכפל, וזה אכן דבר מגוחך. לדעתי חשוב להבין מה זה כפל, רצוי גם לדעת להכפיל מספרים קטנים זה בזה בלי להיעזר במחשבון, ולגיטימי להשתמש בכל שיטה שהיא: יש אנשים שזוכרים בעל פה כמה זה 13 כפול 14 (אני לא) ויש כאלה שצריכים להשתמש ב"טריקים" כדי לחשב 6 כפול 7. ייתכן ש "נורמלי" לדעת בעל פה עד 10. אז מה? להלבין פני תלמיד שזוכר בעל פה קצת פחות? להיפך, כדאי לזכור פחות ולהבין יותר.

האם המבחן לידיעת עברית הוא היכולת לשנן את המילון בעל פה? המבחן לידיעת תנ"ך הוא לצטט כל פסוק ופרק?

אני לא זוכר שלמדתי את הלוח בעל פה - אם זה היה כך כנראה הייתי שונא מתמטיקה כפי ששנאתי לימודי היסטוריה (בהם נדרשתי פחות או יותר לצטט מה שכתוב בספר). אם ילדי יידָרשו (בעוד כמה שנים) ללמוד אותו בעל פה אני חושב שאגיע מייד לשיחה עם המורה, ואשקול להעביר אותם לבית ספר אחר, או לחינוך ביתי, מי יודע.

יהונתן אמר: אחרי האינסוף, המספרים מתחילים מההתחלה

אם ילדי יידָרשו (בעוד כמה שנים) ללמוד אותו בעל פה אני חושב שאגיע מייד לשיחה עם המורה, ואשקול להעביר אותם לבית ספר אחר, או לחינוך ביתי, מי יודע.

מה שקפץ לי לעיניים זה כמה הורי התלמידים המתועשים עצמם "הולכים לבית הספר".

ובעניין זעמו של דני.
ובכן, אינני חושב שכך דני זועם. אני מניח שהוא מבטא זעם באופן קצת יותר מוחשי.
דני הביא את לוח הכפל כסמל. הוא אינו יוצא נגד לוח הכפל, הוא אפילו אינו יוצא כנגד הסמל. במאמרו, מצביע דני על תופעה ותו לא.

באחד האמשים האחרונים דיבר עמנואל הלפרין עם פרופ' לחינוך שמציעה להפוך את בחינת הבגרות במתמטיקה לרשות ולא חובה.
עמנואל הלפרין שאל את הגברת (שאינני זוכר את שמה) האם ידיעת מתמטיקה איננה נדרשת לאדם המשכיל? כלומר האם מי שאיננו יודע מתמטיקה איננו משכיל.
הגב' שאלה אותו מה רמת ידיעותיו במתמטיקה ועל כך ענה עמנואל - אני בחרתי בתחום אחר, התחום שלי זה הסטוריה.

אז או שעמנואל הלפרין איננו משכיל או שהוא פשוט לא השכיל עדיין להבין שידיעת מתמטיקה היא לא חובה או הוכחה לדבר.

מתמטיקה זו שפה. לוח הכפל זה הא"ב שלה (חלק מהא"ב, לא כולו). אפשר להשתמשן במילון, אבל בשביל לדבר שוטף עדיף לדעת את האותיות. מתמתיקה בנויה נידבחים נידבחים. מי שאיבד או לא זוכר שלב בדרך יהיה לו יותר קשה ויותר איטי להבין את השלב הבא.

צריך לדעת את האותיות כדי לדבר? פעוט שכבר מדבר יודע את הא"ב?
זה כמו להגיד שכדי ללמוד ללכת צריך ללמוד את חוקי המכניקה שמעורבים.
כדי לדבר וללכת צריך "לדעת" את חוקי השפה והתנועה אבל לא חייב ללמוד אותם.
אפשר לדעת מתמתיקה בלי ללמוד את לוח הכפל כמו שאפשר ללמוד את לוח הכפל בלי לדעת מתמתיקה.

הילה, מה בדיוק הנדבכים של המתמטיקה לדעתך? כי אני הקדשתי לעניין הזה די הרבה מחשבה ועדיין לא הצלחתי למצוא איזשהו סדר ברור של מה חייבים לדעת קודם. כמעט לכל דבר במתמטיקה אפשר להגיע מכיוונים שונים. וכן, זה כולל להגיע לשברים לפני שיודעים חיבור, למשל (כפי שמסתבר מספרו של סמואל פפרט). זה בולט עוד יותר אם לומדים קצת את ההסטוריה של המתמטיקה. למשל, אנשים ידעו לעשות דברים מורכבים מאוד בגיאומטריה, לבנות אמות מים, ספינות ומבצרים שעומדים עד היום, וכל זה בלי להשתמש במספר 0. נראה לי שכל הסיפור של "למידה נדבכית" הוא לא יותר מאשר אמונה טפלה, לפחות לגבי מתמטיקה.

יונת - ניסית לחשב אינטגרל מסוים בלי לדעת לכפול?
נדבכים.

> גילה מתחילה לחשוב שהאמונה ש"חשוב ללמוד מתמטיקה" היא קשקוש, אבל שבויה בטיעונים ששיננה שנים <

מה שאת אומרת הוא לא "חשוב ללמוד", אלא - "לא ניתן להתחמק", וזה משהו אחר לגמרי.

חשוב לדעת מתמטיקה?
ודאי שחשוב.
ואכן יודעים. כולם יודעים מתמטיקה. גם בלי ללמוד, גם בלי להשתמש.
מתממטיקה איננה יכולה להיות ערך, אי אפשר שלא לדעת מתמטיקה, אפשר לא להכיר את כליה, אפשר לא להשתמש בה באופן מודע אבל בעצם פעולת הנהיגה מתרחשת מתמטיקה, בכל פעם שאדם קונה או מוכר הרי שהוא מקיים ביטוי פיזי של מתמטיקה.
כמו מוסיקה שגם היא שפה שמתקיימת מאליה. הרי לא יעלה על הדעת לומר כי מי שאינו יודע לקרוא, לכתוב או לומר את התווים אינו יכול לדעת מוסיקה או להינות ממנה. יש רבים שהבנת המוסיקה שלהם והבנתה אינם מגובים בשפה ובדוקטורינה כזו או אחרת.

הטענה כאילו לוח הכפל או ידיעת האותיות חיוניים ללמידת שפת המתמטיקה או שפת הדיבור דומה לטענה כי מי שאינו יודע תווים לא יכול לשיר. טענה זו רק מאשרת ובכך מחזקת, את טיעוניו של דני לסרי.

לשם ההקצנה אביא דוגמא מהספר המצוין "האיש שחשב שאשתו היא כובע"
בספר מובאת דוגמא של תאומים, אשר אין להם כמעט כל קשר עם הסביבה, אבל ביניהם הם משוחחים במספרים. הסופר שם לב כי הם מרבים להתייחס למספרים ראשוניים. לפיכך, הביא עימו לפגישה הבאה טבלה עם מספרים ראשוניים עד שש או שבע ספרות. בביקורו הבא נכנס לשיחתם אשר בדרך כלל עסקה במספרים ראשוניים אשר הגיעו עד ארבע ספרות וזרק לחלל האויר מספר בין חמש ספרות - פניהם אורו - הם הבינו כי ניתן להתקדם הלאה.. מהר מאוד השאירו אותו עם הטבלה שלו והגיעו למספרים ראשוניים עם שמונה ותשע ספרות.

יתכן כי אינני מדייק בפרטים אבל, בעיקרו זה הסיפור. סיפור אמיתי על שני אנשים "מוגבלים" אשר ידעו מתמטיקה מתוך עצמם.

אמנם אנשים אלה אינם מייצגים את הנורמה, אבל וכאן נחזור שוב למאמרו של דני - הנורמה מחייבת ידע מסוים על מנת להעניק תואר משכיל למי שהולך בדרכה.

וכאן, שוב, עולים תרוצים שכלתניים המצדיקים את היות לוח הכפל למטרה או יעד, במקום להתייחס אליו כעוד אמצעי פשוט שעומד לבחירה חופשית לשימוש או אי שימוש בידי האדם.

רק עכשיו נפל לי האסימון והבנתי שאנשים באמת לומדים בעל פה את לוח הכפל... איך אפשר?
לפני כמה ימים ראיתי את התוכנית "החוליה החלשה" בטלויזיה (סליחה). היתה שם מתמודדת אחת שטעתה בשאלה "כמה זה 7 כפול 8?". אחרי שכל האחרים העיפו אותה מהתוכנית והמנחה גמרה להפוך אותה לאבק על הטעות היא הודתה שהפאדיחה איומה היא ושלא תהיה לה ברירה אלא להמשיך לחיות את חייה עם אות הקיין הזאת על מצחה.

>המח של איתי מלא בפרטים חשובים כמו מבקיעים של שערים במשחקי כדורגל משנת 1984 ואין לו מקום ללוח הכפל<

צפריר - אם מתייחסים לדברי עמנואל הלפרין כפשוטם, הרי שהוא טוען שהוא איננו אדם משכיל. ואם כך הדבר הרי שאין לקחת אותו ברצינות...

אבל, כפי שמודגם שוב ושוב בטלויזיה, תפקידו של המנחה/המראיין הוא לא להביע את דעתו האישית, אלא להתווכח עם המרואיין כדי לספק את תאוות הדם של הצופה. ב"פופוליטיקה" זה נעשה בגלוי ובבוטות, ואצל עמנואל הלפרין זה נראה אמין יותר, אבל אין להניח שהוא מתכוון למה שהוא אומר. (ובהזדמנות זו, ברכות על ההופעה המכובדת אצל ירון לונדון - שעשה כמיטב יכולתו להציג אותך כמוזר, וללא הצלחה).

הנורמה היא רק כלי (מתחום המתמטיקה...) ולא אידאל שצריך לשאוף אליו. אני אישית חושב שעמנואל הלפרין הוא אדם משכיל, גם אם לא הייתי מטיל עליו לבנות אמת מים. אמא שלו יכולה להיות גאה בו.

יש מי שאומר לילדו "חשוב ללמוד מתמטיקה" ומתכוון בעצם, "אני רוצה שתעשה שעורים כדי שתקבל ציון גבוה בבגרות, ואז תוכל להתקבל לפקולטה יוקרתית באוניברסיטה, לעבוד בהיי-טק ולהרוויח הרבה כסף". הרצון הזה הוא לגיטימי. אבל אם הילד לא יראה את המתמטיקה כדבר מהנה, הטענה שזה "חשוב" רק תגרום לתיסכול. והרי יש הרבה אנשים כמו עמנואל שמסתדרים לא רע בחיים.

בכלל, המושג "לדעת" לא מתקשר אצלי טוב עם מתמטיקה. "ידיעה" קשורה אצלי עם יכולת נרכשת - למשל, אני יודע ללכת, אני יודע לדבר (כך שאנשים אחרים מבינים אותי) וכו'. כך ניתן גם לדבר על "ידיעת" חיבור, חיסור, כפל, נגזרות ואינטגרלים. אך האם "לדעת" מוסיקה, "לדעת" מספרים ראשוניים (ועוד שלל יצורים מתמטיים), "לדעת" לצייר ו"לדעת" את התנ"ך, זה אותו דבר?

לי נראה שלגבי הקבוצה השניה יותר נכון להשתמש במונחים כמו להבין_, _להכיר_ או _ליהנות מ..._ שבהם השתמש צפריר. זה נראה כמו התפלספות? אני גם _נהנה_ מהתפלספות. וזה מזכיר לי את סוקרטס שטען שככל שהוא לומד יותר, הוא יודע פחות. (האם הוא ידע את זה, או שהוא הבין את זה?) וכך, בניגוד לדעת צפריר ש _אי אפשר שלא לדעת מתמטיקה, אני לא יודע מתמטיקה.

תפסיקו לדעת את לוח הכפל, מספיק להכיר אותו וזהו. תנסו ליהנות ממתמטיקה במקום ללמוד אותה. ואם אתם מתעקשים לשנן בעל פה, הנה לכם עיבוד חדש ללוח הכפל, משהו כזה פוסט מודרני.

{{
1 2 3 4 5 6 7 10
2 4 6 10 12 14 16 20
3 6 11 14 17 22 25 30
4 10 14 20 24 30 34 40
5 12 17 24 31 36 43 50
6 14 22 30 36 44 52 60
7 16 26 34 43 52 61 70
10 20 30 40 50 60 70 100
}}

יאללה. מחר בוחן פתע.

גילה, כתבת: ניסית לחשב אינטגרל מסוים בלי לדעת לכפול?
לא זה מה שאמרתי. טעניתי שאפשר, למשל, ללמוד אינטגרלים לפני שיודעים להכפיל. למעשה, אפשר קודם ללמוד אינטגרלים ודרך זה להגיע למושג הכפל. (מתחילים מחישובי שטחים כלליים, ועוברים למקרה פרטי של מלבן.)
אני חושבת שהסייג היחיד שמצאתי לטענה שמתמטיקה אינה "נדבכית" הוא מניה - צריך לדעת למנות בשביל לגשת לאינטגרלים או לכפל. (כמובן שיש תחומים אחרים במתמטיקה שאפשר ללמוד גם בלי לדעת למנות, בעיקר בגיאומטריה.)

עדי,
ראשית זה היה אצל מני פאר. ותודה על דבריך.
שנית, לדעת בעברית זה ידיעה פנימית כוללת. לדעת את אשתך.

גילה, לדעת את לוח הכפל זה לא אומר בהכרח לדעת לכפול. ההבנה של פעולת הכפל והמשמעות שלה לא קשורה לשליפה האוטומטית של התוצאת התרגיל 7*8.

ולנאוה צחקתי מאוד למקרה החוקים הפשוטים ללוח הכפל... אם הייתי זוכרת אותם בטח שהייתי מצליחה ללמוד גם את לוח הכפל בע"פ.

עוד טריקים מגניבים להכפלת מספרים גדולים :

http://www.wikipedia.org/wiki/[po]Peasant multiplication[/po]
http://www.tcyonline.com/mba/mathquickies.htm

ושיטות לחישובים נוספים:

http://vedicmaths.org/Group%20Files/tut ... 20only.asp

יהונתן מאוד מתעניין בהכפלות, ובכלל אני מגלה שמאז שאני זורמת איתו
במספרים גדולים, בכפל ובמושגים כמו האין סוף,
הוא מחשב הרבה יותר בקלות את המספרים הקטנים יותר.
יש רעיונות שכבר הוטמעו ממש.

לאחרונה, בזמן היותו באמבטיה,
הוא שאל על כפולה של 11, אז הסברתי לו את העיקרון - עד 9 - קלי קלות ומהנה מאוד.
ואז החלטתי לבדוק את הפנמת רעיון ההכפלה ב- 10, אותו לימדתי לא מזמן.
שאלתי: וכמה זה 11 כפול 10? הוא חשב מעט וענה: 110.

הוא שאל שאלה על כפולות של 100 - העברתי את מתן התשובה, למיטה המשפחתית.
רשמתי על נייר, בראש הדף 10 ו- 100 ונתתי דוגמאות עם מספרים שונים (ספרה אחת, שתיים, שלוש וארבע)
הדגמתי את מה שידע - כפולות של 10 - מוסיפים 0 אחד
והראיתי איך בכפולות 100 מוסיפים שניים.
המשכנו להוסיף אפסים ליד ה- 100, וליד המספרים שמתחת עד לכפולות של 10,000

הסברתי את הרעיון, באמצעות התרגיל המקורי שהכניס אותנו לנושא לפני חודש: 10X10 = 100
יהונתן הוסיף ליד ה- 100 X10=1000

ואני הייתי אימא גאה

אני מוצאת את הלמידה שלו מרתקת!!
כיון שאני למדתי בביה"ס, שם הכל 'מסודר', אני לא ממש מבינה את הסדר שלו.
העובדות הן, שהחומר הראשוני של כיתה א' בחשבון משעמם אותו והוא מתקשה להבינו.
ככל שהוא מבין יותר את המספרים הגדולים, הוא מסתדר טוב יותר עם הקטנים.
מה ההגיון? - אין לי מושג!!!
האם זה חשוב? - ממש לא!!!
אבל זה מעניין ומרתק - אותי לפחות...

מצביע לשעור מקוון שכתבתי על לוח הכפל הנעזר בטקסט נפרש יש בראש הדף של טקסט נפרש.
השעור מכיל שיטות להכפלה במספרים שונים, אינטואיציה גיאומטרית ותרגילים רבים.

בדיקת חלוקה בשבע

שבע זו בעיה. אין דרך אחת לבדוק את החלוקה, אך יש כלים לפשט את שאלת החלוקה בשבע.
שני הכלים הבסיסיים:

צמצום לשש ספרות.
החסרה והוספה של כפולות של שבע, מוזזות (כלומר, מוכפלות בכפולות של עשר).

נרחיב:

צמצום לשש ספרות

המספר 999999 מתחלק בשבע.
מכאן נובע שהשארית בחלוקה בשבע של מליון היא אחד, של עשרה מליון היא אותה שארית של עשר (שלוש), של מאה מליון - אותה שארית של מאה (שתים) וכך הלאה.
לכן, כשרוצים לבדוק אם מספר ענקי מתחלק לשבע (מספר עם יותר משש ספרות) אפשר להקל קצת את הבעיה, ולהצטמצם לשש ספרות: מחלקים את המספר לשישיות של ספרות (החל בצד ימין), מחברים את השישיות, ובודקים אם הסכום מתחלק ב- 7.
לדוגמא, כדי לראות מה השארית בחלוקה בשבע של המספר הבא (ולכן גם האם הוא מתחלק בשבע): 123456789012345
אפשר לחלק אותו לשישיות ולסכום אותן:
012345
456789
123
--
469257
טוב, זה עדיין לא פתור, ואז אנחנו מגיעים לכלי השני:

החסרה והוספה של כפולות של שבע, מוזזות

להחסיר שבע אפשר רק אם הספרה היא מעל שבע. אפשר לעשות את זה בכל ההזזות: להחסיר 7, 70, 700 וכך הלאה.
לדוגמא, במספר שלנו (אחרי צמצום שישיות - 469257) אפשר להחסיר שבע מהספרה 7, ומתקבל 469250. זה כמובן לא שינה את השארית בחלוקה בשבע.
עכשיו אפשר להחסיר שבע מהספרה 9, ומתקבל 462250. גם זה לא שינה את השארית בחלוקה בשבע.
שבע לא נותן לנו הרבה, כי צריך שספרה תהיה לפחות 7 כדי שאפשר יהיה להחסיר אותו (ואת ההזזות שלו, כלומר - הכפולות בחזקות של 10).
אבל אפשר גם להחסיר כפולות של 7. 14 לא מציע הרבה אפשרוית (אם כי במקרה שלנו אפשר להחסיר 14 מכמה מקומות), אך יש אפשרות מבטיחה יותר: המספרים 21 ו- 1001, שניהם מתחלקים בשבע, ובדרך כלל נח להחסיר אותם. נתחיל:
462250
נחסיר 21 מוזז עד הסוף שמאלה (זאת אומרת - מה- 46 שבצד שמאל. במלים אחרות, זה 21 כפול עשרת אלפים - גם זה מספר שמתחלק בשבע). נקבל
462250
{{-}}

210000

{{_}}

252250
עוד החסרה של 21 מוזז עד הסוף שמאלה תתן לנו להיפטר מהספרה העליונה(!):
42250
נעבור להחסרות של 1001. החסרה של 1001 מוזז עד הסוף שמאלה תתן 32240.
נחסיר עוד שלוש פעמים 1001, וניפטר גם מהספרה השמאלית הנוכחית.
2210
עכשיו נחסיר 21 מוזז מקום אחד שמאלה, ונקבל 2000.
כאן אפשר להמשיך בכמה דרכים:
א. לזכור שחלוקה בעשר אינה משנה לגבי חלוקה בשבע (אם כי היא כן משנה לגבי השארית), ואז נחלק שלוש פעמים בעשר, ונקבל 2. זה מספר שאינו מתחלק בשבע, לכן המספר המקורי אינו מתחלק בשבע.
ב. נחסיר פעמיים 1001. נקבל מינוס 2. נוסיף שבע, ונקבל 5. זו השארית בחלוקה בשבע של המספר המקורי (אשר אכן אינו מתחלק בשבע).

גם אני כאמא סבלתי כילדי היו בכתה ג והיו צריכים לדעת את לוח הכפל.
מתוך המצוקה כתבתי עבורם את "פגבג כפול שבע" - לומדה חוויתית ללימוד ולתרגול וליצירת יחס חיובי לכפל ולחילוק.

אני מציעה לכל מי שרוצה לחבב את לימודי החשבון על הילדים והתלמידים שלו - שירכוש את הלומדה. יש אישור משרד החינוך, אבל זה לא העיקר.
נעשתה עבודה רצינית בחקר ההבנה של הילדים, ההפנמה שלהם וכוח המשיכה של המחשב. הפגבגים, היצורים שמלווים את הלומדה ממחישים את הכפל, מטפלים בתהליך הכנסה לזיכרון לטווח ארוך ומושכים את הילדים בעזרת כסף ומתנות וירטואליות. בגיל הזה זה עובד יופי!

כדאי להתרשם באתר של לומדע : http://www.lomda.net או דרך האתר של חינוך עולמי : http://www.hinuch.co.il
אפשר לרכוש את הלומדה דרך האתר. כדאי לכם.

בלי להביע דעה כלשהי על התוכנה (אשר לא ראיתי אותה) - לא נח לי עם מה שכתבת, בגלל הגישה העומדת בבסיס הדברים. אני אסביר.
יש שתי גישות ללימוד המתמטיקה:
הגישה האחת היא גישת האהבה למתמטיקה: "חבר'ה, מתמטיקה זה הדבר הכי יפה שיש בעולם, ואנחנו הולכים עכשיו ללמוד מתמטיקה. בשעור הזה יש מלכה אחת, והיא המתמטיקה. שום דבר אחר לא מעניין. אנחנו נלמד מתמטיקה, אנחנו נראה כמה שזה יפה, ואנחנו נהנה מזה". בשביל הגישה הזו צריך מורה שאוהב מתמטיקה, ושמתלהב ומשדר לתלמידים את התלהבותו ממתמטיקה.

למרבה הצער, רוב המורים בבית הספר היסודי אוהבים ילדים, אוהבים את הנוחות שבמשרת ההוראה בבית הספר, או שאוהבים מקצועות אחרים - ספרות, תנך, חיבור, אך הם ממש לא אוהבים מתמטיקה, ובמקרים רבים הם נפגעי מתמטיקה (נפגעי מורים כמותם בדור הקודם, או מורים גרועים מסוג אחר). הם אינם מתאימים, אינם מסוגלים ואינם רוצים לשדר אהבה למתמטיקה. אם זה היה תלוי בהם הם בכלל לא היו מלמדים את המקצוע הזה. הם מלמדים אותו כמי שכפאם שד.
כאן מגיעה הגישה של המתקת הגלולה המרה: הם משדרים לתלמידים בקול רועד: "אההההיייןןן לכהההם בכלהההל מהההה ל... ל... לפחההההד ממתמטיההההקה. זה בכלהההההל לא מפחיהההההיד. ובעצם אנההההחנו לא נלמד אתכם את המקצוע המפחייההההיד הזה: אנחנו בכלל נשחק בחיוכים (או בכל אופנה חרטטנית אחרת, אבל שיטת החיוכים היא שפל המדרגה)". אלה מורים שבעצמם מפחדים ממתמטיקה, ומשדרים את הפחד שלהם היטב לתלמידים.

את האהבה למתמטיקה מקבלים כאשר לומדים מתמטיקה ממורה שאוהב מתמטיקה. לימוד מתמטיקה תוך בושה והסוואה אינו עוזר - כי הילדים קולטים היטב את יחס המורים שלהם למתמטיקה.
לְתוכנה יש יתרון - היא לא משדרת פחד וסלידה ממתמטיקה, אבל עדיין היא משדרת שמתמטיקה זה דבר שעדיף ללמוד בעקיפין, ולא בזכות עצמו.
קשה מאד לשדר בתוכנה התלהבות מתחום כמו מתמטיקה. בשביל זה צריך מורה חי, עם אינטונציה, עם קצב דיבור, מימיקה ושפת גוף. אלה הדברים שהילדים קולטים, ואשר מעצבים את יחסם למתמטיקה.

בלי לראות את התוכנה תרשה לי לחלוק עליך, זה כמובן תלוי מה הרמה של התוכנה אבל ילדים לומדים בעיקר דרך משחק ותוכנה בקטע הזה אם היא כתובה טוב משרתת בדיוק את המטרה של ללמד דרך משחק, אצלנו חסכנו את ההשקעה בתוכנה פשוט ע"י המצאת משחקים ביתיים ללימוד חשבון כולל שינון בע"פ של לוח הכפל אבל בצורה משעשעת (7 בום מכירים?) , ומשתמשים בהם בעיקר בנסיעות ארוכות או בהמתנות משעממות (אצל רופא השיניים למשל) .

לפי ההדגמות באתר שלהם אין שם התנחמדות של המתמטיקה, אבל יש ניצול ראוי של אנימציה להמחשת מושגים. למשל, כדי להדגים 5X7 מראים חמש שורות של שבעה עיגולים, ובלחיצת כפתור מזיזים אותם כך שיסתדרו בשלוש שורות של עשרה עגולים ועוד שורה של חמישה עיגולים, כדי להמחיש ש-5X7 שווה 35. יש משחקים שעוזרים לשינון (למשל זכרון), ויש פשוט תרגילים שצריך לפתור.

בגדול, נראה לי לא בעייתי בכלל (להבדיל מהתוכנות של מט"ח). מצד שני, גם לא ממש נחוץ...

גלית ועמרי

ילדים לומדים בעיקר דרך משחק

רק אם אין בסביבתם מבוגר שבאמת אוהב מתמטיקה. כשיש - הם בהחלט עשויים ללכת איתו.

עודד, נהנתי משיעור בדיקת החלוקה בשבע כאן למעלה, לא הכרתי בכלל, תודה!

לוח הכפל בעיניי הוא ממש כמו סינית אני ממש לא יודעת כלום בלוח הכפל וכל הזמן יורדים עליי ביגלל זה זה פשוט נורא כי אני מצוינת בחשבון אבל יש מלא דברים שאני נתקעת בהם בגלל הכפל

התוכנה *"פגבג כפול שבע" נכתבה מתוך אהבה למקצוע מצד אחד ומתוך הכרה שילדים רבים לא זוכים לזה בגלל כל מיני סיבות (מורים שלא אוהבים מתימטיקה, משפחה שנרתעת מכל מה שקשור למתימטיקה, זיכרון לא בשל, הרגשת עומס ועוד).

לאחרונה סיימנו לערוך ניסוי בקיבוץ רמת השופט. כיתה אחת למדה את לוח הכפל והחילוק ותרגלה בעזרת התוכנה ואילו הכיתה השניה - בשיטות הרגילות על ידי מורה שאוהבת מתימטיקה.

לאחר כחודשיים נבחנו הילדים משתי הכיתות. הילדים שתרגילו בעזרת התוכנה דיווחו על הרגשת כיף, רצון ללמוד עוד, לשחק עוד, לדעת עוד. אצל הילדים האחרים התגלו סימני עייפות, הרגשת עומס ופחות שליטה בחומר.

אשמח אם תתקשרו אלינו בשעות העבודה 9947780 - 04 כדי לקבל הסברים נוספים.

רחל שני

יכול להיות שהתוכנה הזו היא אכן הפתרון. זה הסבר תקף אחד.

עם זאת, במצב הידע שלי כרגע אני יכול להציע עוד הסבר תקף: Hawthorne]אפקט הות'הורן studies[/po] , אשר גרם לילדים שבחנו את התוכנה החדשה ללכת עם הניסוי, ולהרגיש את התכונה, הציפיות והרגשת "אתם הנבחרים" סביבם.
לכך מצטרפת העובדה שבדרך כלל את התוכנה החדשה מעביר מישהו שהיה מעורב בה, ולכן גם מכיר אותה טוב, וגם מתלהב ממנה, ומשדר התלהבות. והתלהבות זה דבר מידבק.
ההסבר הזה (אשר אינו עדיף על ההסבר הקודם, אלא שקול לו), עולה בקנה אחד עם מה שקרה כאשר לימדו ילדים עם בדידים: הילדים שלמדו בהתחלה עם בדידים היו הרבה יותר טובים מהאחרים. אחר כך, כאשר שיטת הבדידים הפכה לסטנדרטית - המורים הפכו לפחות נלהבים מהבדידים, והפער נעלם.
לכן נוספה אולי טעות שנעשתה בלימוד עם בדידים: היתה רק ערכה אחת סטנדרטית של בדידים (כלומר, כל צבע היה צמוד תמיד לאותו מספר, וכל מספר לאותו צבע). כך נוצר זיהוי יחיד בין צבע ומספר, וחלק מהתלמידים לא למדו ששלוש ועוד ארבע זה שבע, אלא שאדום ועוד צהוב זה תכלת.

למה אין פה את הלוח כפל עצמו? ? ? ? ? ? ? ?

החומר הוא קל פשוט צריך לדעת אותו ולא להילחם איתו!!!!!!!!! אני לא ידעתי את לוח הכפל ועכשיו אני בת 12 ויודעת אותו מצויין! כי כל הזמן רק למדתי ולמדתי ועכשיו החלטתי להנות ממנו, וכך למדתי.
בזכות זה שאני נהנית ממנו.

למה אין פה את הלוח כפל עצמו?

חכה ל טקסט נפרש, ותופתע.

ניתן ללמד את הילדים את לוח ההכפל דרך שיטת האצבעות <
זו דרך מוצלחת כדי לגלות דרכים חדשים למחשבה

תודה ובהצלחה

מר. קעדאן עבדאללה

עבדאללה, ההערה שלך הועברה הנה כיוון שיש כבר דף בנושא זה.
ברוך הבא, ואשמח אם תרחיב את הדיון על רעיונותיך.

סליחה שאני נדחפת, אבל לאחר שלא הסתדרתי עם לוח הכפל לימד אותי אבי את שיטת האצבעות. עד היום אני לפעמים מוצאת את עצמי מחברת אצבעות בבואי לחשב 6*9 וכדו'..
קצת קשה להסביר, ואם זה לא ברור אולי עבדאללה יוכל לפרט יותר.

שיטת האצבעות

בעיקרון, השיטה נותנת פתרון לכל הכפלה בין הספרות 6 עד 9 בלבד, מתוך הנחה שילדים לומדים מהר להכפיל את שאר המספרים ביניהם. (1-5 ו 10) - אפשר להסתכל על השיטות בראש הדף. הבעיה העיקרית היא בהכפלת הספרות 6,7,8,9.

כל אצבע מקבלת מספר אחר, לפי הסדר:
זרת - 6, קמיצה - 7, אמה - 8, אצבע - 9.
בבואנו להכפיל 2 מספרים, נחבר את 2 האצבעות המרכיבות אותם. לדוגמא: אם נרצה לבדוק כמה זה 9*8, נחבר את האצבע של היד הימנית לאמה של היד השמאלית (או להיפך). נחזיק מולנו את 2 הידיים המחוברות באצבעות הרלוונטיות, כאשר הזרת כלפי מטה, והאגודל כלפי מעלה.

כעת יש לספור כמה אצבעות יש מתחת לאצבעות המחוברות, כולל האצבעות המחוברות. כשהכפלנו 8 ב 9 כמו בדוגמא שלעיל, יש 7 אצבעות מתחת לאצבעות המחוברות, כולל המחוברות. 7 זו ספרת העשרות של התוצאה.
החיבור של האצבעות שמתחת לאצבעות המחוברות, כולל את האצבעות המחוברות נותן את ספרת העשרות של התוצאה.
כעת נכפיל את מספר האצבעות שמעל האצבעות המחוברות שביד הימנית במספר האצבעות שמעל האצבעות המחוברות ביד השמאלית. במקרה שלנו -אצבע אחת ביד ימין כפול 2 אצבעות ביד שמאל = 2.
הכפלת האצבעות שמעל האצבעות המחוברות ביד ימין באלה שמעל האצבעות המחוברות ביד שמאל נותן את ספרת האחדות של התוצאה.
מסקנה: 8*9 = 72.

דוגמא נוספת: 6*6. קצת Tricky.
נחבר את הזרת של 2 הידיים. נניח את 2 הידיים מולנו, כאשר הזרת כלפי מטה והאגודל כלפי מעלה.

ספירת האצבעות שמתחת לאצבעות המחוברות, כולל את המחוברות - 2. -> ספרת העשרות: 2.
הכפלת האצבעות שמעל המחוברות ביד ימין (4 אצבעות) באלה שביד שמאל (4 אצבעות) ->ספרת האחדות: 16. במקרה שספרת האחדות גדולה מ 10, נוסיף אותה לספרת העשרות והתוצאה תהיה 36.

טוב, בכתב זה נראה נורא מסובך, אבל זה לי זה מאד עזר.

לא הכרתי.
אני מבין שזה עוזר כאשר הדרכים האחרות נכשלות.
הבעיה שלי עם השיטה הזו היא בכך שהיא מכנית לגמרי, אינה כוללת הבנה, ואינה מדרבנת הבנה.
לכן, לפחות בכל מה שנוגע לתשע, נראה לי שעדיף לנסות להתרגל להכפיל בעשר ולהחסיר אחד.
אשר ל- 6,7,8 - עתה נשארו רק שישה צירופים, וזה כבר סביר ללימוד בעל-פה.
וכאשר זוכרים כמה עובדות קטנות, אז אפשר לזכור פחות.
למשל, אם זוכרים או מפתחים שחמש כפול שמונה זה ארבעים, אז שש כפול שמונה זה קל.
אם זוכרים או מפתחים שחמש כפול שש זה שלושים, אז שש כפול שש זה קל.

לכפול ב...
X7 - מספר כפול 3 + מספר כפול 3 + המספר עצמו

לכפול ב...
X8 - מספר כפול 4 + מספר כפול 4 - יש חלק מהמספר שאנו זוכרים את הכפולה שלהם ב 4

שמעון,
אלה לא תמיד דברים שקל לעשות בראש.
למשל, כדי לחשב 7X8 נדרשים לאחד משני התרגילים שאינם תמיד נוחים בעל פה: לחבר 28+28 או 24+24+8.
נראה לי שלזכור בעל פה שש מכפלות - אלו של 6,7,8, זה סביר לגמרי.

למה במה שמתחלק בשתיים אתם לא אומרים פשוט מספר זוגי

אולי לא חשוב ללמוד את לוח הכפל עצמו (לכל אחד יש מחשבון, אם לא בכיס אז על הטלפון הנייד...) אבל אסור בהחלט להיפלט כאן מן המערכת ולהניח ש"אפשר בלי, ואני לא טוב בזה, וזה בכלל משעמם, והמורה בכלל שונא אותי...", כי בניגוד לתנ"ך אי אפשר לדלג (למשל על ספר בראשית, ולהתחיל בשמות). וחשיבה כמותית זה בהחלט דבר שאי אפשר בלעדיו. ובאותו כוון, בלעדי חשיבה כמותי ברמה כלשהי קשה להבין מה קורה בסביבתנו - בואו נתחיל מטיסות לחלל!

על מה אי אפשר לדלג? על שינון לוח הכפל ודאי שאפשר. חמי הוא מהנדס חשמל, למרות שאינו יודע את כל לוח הכפל בעל פה. ואני מבטיחה לך שהוא פותר תרגילי חשבון הרבה יותר מהר ממני (ואני כן שיננתי).

כמובן שצריך לדעת את לוח הכפל וכל שאר הכללים של התחלקות המספרים מכיוון שבפסיכומטרי אין מחשבון . . ..וזה אחד הדברים שחוסך לך 50% מהזמן של התרגיל

"לוח-הכפל"http:\\www.e2k.org.il\metzuyanut\z47.htm

באיזה גיל 'אמורים' לזכור את לוח הכפל?

אני למדתי בבית-ספר שגם לא למדו את לוח הכפל בעל פה וגם לא למדו לבצע כפל (וחילוק) ללא מחשבון. בתחילת כל שיעור חילקו לכולם מחשבונים (זה היה קיבוץ) ורק איתם השתמשנו (רק באוניברסיטה כשלמדתי פולינומים למדתי חילוק ארוך).
זה מפריע בחיי היומיום מעט מאוד, אבל לפעמים זה מרגיז.
בעבודה זה לא מפריע בכלל, במבחנים באו"פ או בפסיכומטרי זה מעכב אבל לא נורא.

יש עוד מישהו שלמד בשיטה (ההזויה) הזו?

X3 - להוסיף את המספר לעצמו ואז להוסיף את המספר לסכום.

מה דעתכם על הקישור שלהלן?
קלטת שמלחינה את כל לוח הכפל, מתוך הנחה שקל יותר לשנן בשירה. העיקרון הוא שכל שיר הוא כפולה, ואם לומדים את השיר בעל פה יודעים את הכפולה כולה. אין לי מושג עדיין אם זה באמת עובד.
אני מניחה, שהסכנה היא שלא יבינו את מהות הכפל אלא רק ידקלמו. אבל מה בדבר צפיה בקלטת כתוספת לשיטות ה"נכונות" יותר?

http://www.ibooks.co.il/[po]NS GetProdInfo[/po].asp?prodid=32811092

נהניתי לקרןא את דברי האנשים הצעירים ממני. כדי לבדוק אם מספר מתחלק ב-7 יש כלל קבוע.
מכפילים את ספאת האחדות ב-2 ומחסירים מהספרות הנותרות.
דוגמה: 98. 8X2=16
9-16= 7(-) . 7(-) מתחלק ב-7 ללא שארית ולכן גם 98 מתחלק ב-7 ללא שארית.
אם המספר גדול חוזרים על התהליך עם הספרות הנותרות.
דוגמה: 1092. 2X2=4 .
105=4-109.
5X2=10
0=10-10. 0 מתחלק ב-7 ללא שארית ולכן 1092 מתחלק ב-7 ללא שארית.
יש גם שיטה לבדיקת חילוק ב-13 אבל לא אכתוב עליה עכשיו.מכיוון שאני למדתי בבי"ס יסודי לפני המחשבונים היה באמת חשוב לדעת והשתמשתי גם בשיטת הכפל באצבעות כפי שכבר נכתב עליה (אימי לימדה אותי.היא אמרה שכך למדו ב"חדר לבנות" בירושלים העתיקה) והייתי כל כך מיומנת שהשתמשתי בה מתחת לשולחן והמורה לא הבחין...
בכל אופן כדאי להכיר את לוח הכפל בצורת טבלה- לראות את הסימטריה וכך להבין את חוק החילוף של הכפל ולראות שעל האלכסון מ-1 עד 100 נמצאים הריבועים.
לא צריך ללמוד בע"פ. אפשר לתת לילדים טבלה כזאת - הם ישתמשו בה ובמשך הזמן יזכרו אותה, אפשר לשחק איתה גם לספירה בקפיצות ועוד שעשועים. חשוב שהטבלה תהיה בריבוע (לא במלבן).
קורה גם שטועים בהקשה על המחשבון. אם מכירם את לוח הכפל יכולים להבחין שנעשתה טעות לפי התוצאה של ספרת האחדות.

יפה, לא הכרתי.
נראה למה זה עובד.
נזכור שבבדיקת ההתחלקות בשבע מותר

להוסיף או להוריד מכפלה של שבע: כי הסכום וההפרש של שני מספרים שמתחלקים בשבע - מתחלק בשבע.
להכפיל או לחלק בכל מספר זר לשבע. כי שבע ראשוני, והכפלה במספרים זרים לו אינה משנה את ההתחלקות בו.

עתה, נסמן את ספרת האחדות b, ואת המספר שקוצצה ממנו ספרת האחדות - a.
כלומר, המספר שלנו הוא
10a+b

ומה צריך להוכיח הוא:
10a+b
מתחלק בשבע, אם ורק אם גם
2b-a
מתחלק בשבע.

הוכחה:
10a+b
מתחלק בשבע
אם ורק אם נכפיל אותו בשתים (אשר זר לשבע) ונקבל מספר שמתחלק בשבע, כלומר - אם ורק אם
20a+2b
מתחלק בשבע.
זה אומר - אם ורק אם
נחסיר ממנו מספר המתחלק בשבע - 21a, ונקבל שהם מתחלקים בשבע אם ורק אם
20a+2b-21a
מתחלק בשבע.
וזה אומר - אם ורק אם
2b-a
מתחלק בשבע.

מש"ל.

סבתא לשמונה לעודד לבנה - תודה על ההוכחה על חילוק ל-7.
כמובן, נחמד להוכיח חילוק ב-3, 9, 5,10 ,11 וכו' אבל אלה קלים מאוד ושימושיים.
בדיקת החילוק ל-13 יותר מסובכת ולא כל כך כדאי לעסוק בה אבל כדאי לדעת שהיא קיימת.
דוגמה: 143. נכפיל את ספרת האחדות ב-4, כלומר 3X4=12 . נחבר את ה-12 ל-14 שנשארו לאחר הורדת ה-3.
14+12=26. 26 מתחלק ב-13 ולכן גם 143 מתחלק ב-13. למספרים יותר גדולים חוזרם על התהליך כמה פעמים. כמובן, בעידן המחשבונים זוהי עבודה מיותרת. לעומת זאת כדאי להראות שכל המחלקים של מספר הם מכפלות של הגורמים הראשוניים שלו.
דוגמה: 144=1X3X3X2X2X2X2 ולכן 144 מתחלק ב- 2 ב-4 ב-8 ב-16 ב-3 ב-9 ב-6 ב-12 ב-24 ב-48 ב-36 ב-72
ואם שכחתי מכפלה או יותר איתכם הסליחה.
הבנת נושא הגרמים הראשוניים, עוזרת מאוד להבנת המספרים בכלל.

הבנת נושא הגרמים הראשוניים, עוזרת מאוד להבנת המספרים בכלל

נכון, אך זה לא שייך לדף לוח הכפל, אלא לדפים בנושא תורת המספרים.

הוכחה לשיטת בדיקת החלוקה ב- 13:
העקרונות הם אותם עקרונות לבדיקת החלוקה בשבע:

מותר להכפיל במספר זר ל- 13 (במקרה שלנו - 4), וזה לא ישנה את ההתחלקות ב- 13.
מותר להחסיר כפולה של 13 (במקרה שלנו - 13 כפול 3 כפול a, שזה 39a ), וגם זה לא ישנה את ההתחלקות ב- 13.

(כאשר אני כותב "לא ישנה את ההתחלקות ב- 13", הכוונה היא שזה לא יגרום למספר המתחלק ב- 13 להפסיק להתחלק, או למספר שאינו מתחלק ב- 13 -- להתחלק בו. אין הכוונה לשמירה על השארית, כמו בשיטות לבדיקת החלוקה ב- 3,9 או 11).

עתה:
נסמן את המספר שלנו, כמו קודם
10a+b
נכפיל בארבע ונקבל
40a+4b
נחסיר מספר המתחלק ב- 13. המספר הוא 39a, ונקבל:
a+4b.

ולפי אותה שיטה אפשר לבדוק חלוקה ב- 17. נזכור ששבע עשרה כפול שלוש זה חמישים ואחד:
נסמן את המספר
10a+b
נכפיל בחמש ונקבל
50a+5b
נחסר מספר המתחלק ב- 17. במקרה שלנו, 51a, ונקבל:
5b-a
ושוב, אם צריך אז חוזרים על התהליך.

ולגבי 19:
נכפיל את
10a+b
בשנים ונקבל
20a+2b
נחסר 19a ונקבל
a+2b.

פתחתי דף חדש שנקרא חיבור וחיסור. אתם מוזמנים לקרוא.
שם משהו יצא לא ברור. צריך להיות =873-1000 ולא כמו שתמצאו שם.

8*7=56
4*3=12
שימו לב שהספרות עוקבות.

כאשר דנים עם ילדים בחוק החילוף של החיבור ושל הכפל צריך להראות שזה נכון מתמטית אך בחיי היום-יום זה לא תמיד נכון.
נניח שמישהו משתכר 3200 ש"ח לחודש (שכר מינימום...) והמעסיק יציע לו לקבל 3000 ש"ח מיד ואת היתרה במועד מאוחר יותר, או שהעסיק יציע לו לקבל 200 ש"ח מיד ואת היתרה במועד מאוחר יותר. לאיזו הצעה יסכים? הרי לפי חוק החילוף אין הבדל..
דוגמה לכפל: הצעת עבודה - 10 שעות לפי 20 ש"ח לשעה או 20 שעות לפי 10 ש"ח לשעה.
מעבר למתמטיקה הטהורה יש ללמוד גם מתמטיקה שימושית.
בחילוק יש לדון בנפרד מפני שמלבד הקושי הטכני יש שני סוגי חילוק:
חילוק לחלקים וחילוק להכלה.
דוגמאות: חילקתי באופן שווה 8 סוכריות ל-2 ילדים, כמה סוכריות קיבל כל ילד? (חילוק לחלקים).
יש לי 8 סוכריות. נתתי לכל ילד 2 סוכריות. כמה ילדים קיבלו סוכריות?
בשני המקרים התרגיל הוא 4=8:2 אבל התוכן שונה.
בלי להבין את המושג חילוק להכלה אין להבין את משמעות תרגיל שהמחלק הוא שבר. 8:0.2 משמעותו היא כמה פעמים 0.2 "נכנס" ב-8.

סבתא לשמונה,
הצלחת לבלבל אותי.
מעולם לא שמעתי את המושג "חילוק להכלה" וזה מעולם לא הפריע לי לחלק ולהבין מה אני מחלקת.
נראה לי שזה מושג של מורים למתמטיקה.
האם הוא באמת דרוש כדי להבין חילוק ולדעת לחלק? ספק גדול.

סבתא לשמונה,
כאשר הופכים סוגיה מעשית לסוגיה מתמטית ,יש לבחור עד כמה מפורט המודל.

לגבי הלנת השכר, אם המודל הוא ברמה הבסיסית ביותר, אז אכן אין הבדל.
כדי להצרין (לעשות פורמליזציה, להעביר מבעיה למודל) את ההבדל, יש להכניס מקדם היוון.
ברגע שנכנס מקדם היוון - הסימטריה נשברת.
למשל, נניח שמקדם ההיוון לתקבול הדחוי הוא 95%, אז יש הבדל כמובן בין
200 + 95%X3000
לבין
3000+95%X200

במודל הזה, המפורט יותר, המבנה השולט אינו של חוק החילוף, אלא של העדפת ההווה.

גם בדוגמא של השכר, אם ההצרנה מטפלת רק בסוגיית השכר, הרי שאין הבדל.
לדוגמא, אם השעות אינן שלי אלא של פרי-לאנסר, אין הבדל מבחינתי בין מצב שאני מעסיק פרי לאנסר עשרים שעות ומרוויח, מעבר למה שאני משלם לו, עשרה שקלים על כל שעה שלו (וזה המכסימום שאני יכול להעסיק אותו), לבין המצב שאני מעסיק אותו עשר שעות, ומרוויח על כל שעה עשרים ש"ח.

המקרה אשר בו נעדיף את העשר שעות הוא אחד משנים:

כאשר יש עלות לשעה (לאו דווקא בכסף, אלא במה שקוראים בכלכלה "יחידות תועלת"). זה המצב כאשר השעות האלו באות על חשבון פנאי. מצב טבעי בהחלט, וממדלים אותו בשיטות של תורת התועלת.
כאשר יש מאגר מוגבל של שעות, ואת השעות הפנויות אפשר להפנות למטרות אחרות להרוייח כסף במקום אחר. כאן המודל ההולם כאן הוא תרומה סגולית ליחידת אילוץ, ובמקרה הזה - תרומה סגולית לשעה. תחום הידע הרלוונטי הוא תורת האילוצים הניהולית (השונה מתורת האילוצים המתמטית).

בכל מקרה, הפירות האלה נמצאים קצת יותר גבוה גבוה בעץ ששורשיו כוללים הבנה של חיבור וחיסור, כפל וחילוק.

לגבי חילוק לחלקים וחילוק להכלה - זה תלוי בצורת החשיבה של הלומד: אם הוא רואה סימטריה בין המחלק למנה - אז אין צורך להבדיל.
אם לא, אז חילוק לחלקים הוא כאשר המחלק ידוע והמנה לא, וחילוק להכלה הוא כאשר המנה ידועה והמחלק לא (אם כי פורמאלית מחלקים במנה).

אגב, גם אני לא שמעתי את המונחים האלה קודם.

אכן, המונח "חילוק להכלה" הוא של מורים למתמטיקה אבל כבר מביה"ס היסודי וקיים שנים רבות ואף הוסבר לתלמידים. ייתכן שכאשר הכניסו את תוכניות הלימודים "החדשות" שנכשלו ועכשיו מחליפים אותן, הפסיקו להשתמש בו. אני שמניחה שעכשיו יחזרו להשתמש בו או במונח דומה .
המשמעות פשוטה מאוד : כמה פעמים מכילה כמות אחת כמות אחרת.
כפי שכבר כתבתי, כאשר מדובר בחילוק לשבר זו המשמעות היחידה.
אשר לבעיית חוק החילוף, מה שכותב עודד ליבנה נכון, אבל אני התכוונתי לכך שצריך להראות לילדים שיש הבדל בין החוק המתמטי הטהור ובין היישום שלו בחיי היום-יום.
לאמא של יונת - מה המשמעות של 10:0.2 ? או 0.06:0.3 ? כמובן, מדובר לא רק בשברים עשרוניים אלא גם בשברים פשוטים.

כמובן, מדובר לא רק בשברים עשרוניים אלא גם בשברים פשוטים

ההבדל בין שברים עשרוניים לפשוטים אינו במהות, אלא בייצוג בלבד.
לכן לא יכול להיות הבדל מתמטי בין שבר המוצג בכתיבה עשרונית לשבר המוצג כמנה.
הנקודה העדינה היחידה היא שלשברים רבים יש ייצוג עשרוני אינסופי.

מה המשמעות של 10:0.2 ?

לדוגמא, כאשר פותרים את המשוואה

2Y=10

על ידי חלוקת שני האגפים ב- 0.2
המשוואה יכולה לנבוע מבעיות רבות, אינטואיטיביות יותר או פחות.
כך, למשל, היא יכולה לנבוע מהשאלה הבאה:
יש 0.2 בלטות במטר. אם רוחב חדר הוא 10 בלטות - מה רוחבו במטרים?

ככלל, למרכיב במתמטיקה אשר נוצר בהקשר אחד יש במקרים רבים משמעויות בהקשרים נוספים.
זה חל גם על החילוק, אשר יש לו משמעות בהתרת משוואות, מעבר למשמעות שלו בחלוקת עצמים לקבוצות או במילוי מידה במידות קטנות יותר.
לכן חשוב שהתלמידים יתנתקו מההקשר הראשוני שבו למדו את הכלי המתמטי (אחרי שהבינו את ההקשר הזה היטב). אחרת הם יינעלו ברמה נמוכה של ההבנה המתמטית.

לעודד ליבנה
אתה וודאי יודע שרק שברים פשוטים שהגורמים הראשוניים של המכנה הם כפולות של שהרי 2X5=10 100=5X5X2X2 וכן הלאה ניתנים לרישום כשבר עשרוני סופי. (זה נכון גם אם גורמיו הראשוניים של המכנה הם רק כפולות של 2 או רק כפולות של 5). הסיבה ברורה.
כל השברים האחרים בהעברה לשבר עשרוני יהיו שברים מחזוריים טהורים אינסופיים או שברים מחזוריים מעורבים אינסופיים. למשל 1/11 יהיה ...0.0909 שהוא שבר מחזורי טהור שהמחזור שלו 09.
1/6 יהיה...0.1666 , שבר מחזורי מעורב מפני ש-2X3=6 והגורם 2 מביא למעורבות השבר.(המחזור הוא 6, הסיפרה 1 אינה חוזרת).
בחיי יום יום משתמשים בעיקר בשברים עשרוניים ולכן אם מדובר בשבר מחזורי מחליטים לכמה ספרות אחרי הנקודה העשרונית להתייחס לפי אופי הבעייה. בשקלים רק שתי ספרות בקניות, אבל בשערי מטבעות משתמשים ב-4 ספרות.
מבחינה מתמטית טהורה אפשר להפוך שבר מחזורי לשבר פשוט.
הכלל הוא: המונה הוא המחזור והמכנה הסיפרה 9 מתחת לכל ספרה שבמונה.
דוגמה: ...0.2727 , השבר הפשוט הוא 27/99 ולאחר צמצום 3/11
בשבר מעורב הנוסחה קצת יותר מסובכת ןקשה לי להסבירה בכתב בלי לוח ולכן אסתפק בדוגמה: ...0.8333 = 8/10+3/90=75/90 =5/6.
ההוכחה בוודאי מוכרת לך (יש שתי הוכחות), אני משאירה לך להביא את ההוכחה.
נסו לבדוק איזה שבר פשוט הוא השבר המחזורי ...0.142857 לפי הכלל של שבר מחזורי טהור כלומר:
142857/999999 צמצמו ותגלו.

לעודד ליבנה
בשורה הראשונה של מכתבי הקודם נפלה טעות.
צ"ל: אתה בוודאי יודע שרק שברים שהגורמים הראשוניים של המכנה הם כפולות של 2 ו-5 ניתנים לרישום כשבר עשרוני סופי.

הסיבה היא ש

הסדרה החוזרת ב- 1/9 היא 1 (כלומר, הייצוג הוא 0.111111....)
הסדרה החוזרת ב- 1/99 היא 01 (כלומר, הייצוג הוא 0.01010101...)
הסדרה החוזרת ב- 1/999 היא 1 (כלומר, הייצוג הוא 0.001001001...)
הסדרה החוזרת ב- 1/9999 היא 1 (כלומר, הייצוג הוא 0.00010001...)
ובאופן כללי, אחד מחולק במספר הכתוב ב- N פעמים 9 מייוצג במחזור של N-1 אפסים ואחריהם 1 (זה מתקבל מהפיתוח של חילוק ארוך - שבו יש שארית אחד אחרי N פעמים).

כל הכפלה של הגודל הזה בגודל קטן מהמחולק מכפילה כל אחד מהמקטעים בלי לגלוש למקטע הקודם או הבא.

אני מכירה את ההוכחה בצורה הבאה:
...X=0.3 נכפיל ב-10 נקבל ...10X=3.3 נחסיר את המשוואות ונקבל 9X=3 ולכן X=3/9 =1/3 .
אם ניקח מחזור יותר גדול משתי ספרות לדוגמה: ...0.18 . המשוואה תהיה ...X=0.18. הפעם נכפיל ב-100 ונקבל
...100X=18.18 . נחסיר את המשוואות ונקבל 99X=18 ולכן X=18/99=2/11.
ככל שמספר הספרות במחזור גדול יותר ההכפלה תהיה גדולה יותר. כמובן, אין צורך לעשות זאת בכל פעם מפני שהכלל כבר ידוע. הליקוי שבהוכחה היא ההנחה שאכן המחזור הוא אינסופי ואינו משתנה ולכן לאחר ההכפלה והחיסור נשאר רק המספר השלם, אבל זו ההנחה הקיימת.
יש,כנראה, הוכחה מסובכת יותר לפי סדרה אינסופית יורדת. אני צריכה עדיין לשחזר אותה.

לא הבנתי על איזה ליקוי מדובר.

לעודד ליבנה
הליקוי הוא מדומה. יש המקשים לשאל ואומרים שאולי בהמשך המחזור משתנה ואז ההוכחה אינה נכונה. זו שאלת התפלפלות מיותרת אבל היא עולה לפרקים.
לכל המעוניינים
כדאי לכם להכנס ב- GOOGLE ולחפש את ריקי עמר.
יש לה אתר מקסים על כל מיני נושאים במתמטיקה כולל משחקים, מצגות, תוכניות לימודים לפי כיתות ועוד. האתר עדיין בפיתוח. זאת מורה שמתוך אהבה לנושא הקימה אתר נוח וידידותי.
אתר לתיכון: www.g-math.co.il/index.htm (שם ארוך - כדאי להכניס ואח"כ להעביר למועדפים ולתת כינוי קצר).
מצאתי ב"שעור חופשי", בטאון הסתדרות המורים, עוד כתובות של אתרים אך עדיין לא בדקתי אותם.

לעודד ליבנה
שכחתי להודות לך על הפרקטלים.
נכנסתי ל- GOOGLE וזה מעניין מאוד.

סליחה על הבורות, אבל האם יש דרך לדעת האם שבר הוא מחזורי או לא?

לעומר ס
מפרקים את המכנה לגורמיו הראשוניים לדוגמה 8=2X2X2 או 250=5X5X5X2
אם הגורמים הראשוניים הם רק 2 ו/או 5 או חזקותיהם שהם גורמין הראשוניים של 10 וחזקותיו, יהיה השבר עשרוני סופי.
1/8=0.125 1/250=0.004 . מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית יהיה לפי החזקה הגבוהה יותר של הגורמים הראשוניים. 8=3^2 ולכן מספר הספרות הוא 3. ב-250 קובעת החזקה של ה-5 מפני שאפשר גם לרשום 250=5X5X10
כל האחרים יהיו שברים עשרוניים מחזוריים.
עוד "טִיפּ" קטן. עד היום לא יודעים ללא בדיקה מה יהיה גודל המחזור של שברעשרוני מחזורי. מה שבטוח שאף פעם לא יהיה גדול יותר מהמכנה. (המחזור של 7 הוא בן 6 ספרות וכך גם של 13, 17, ו-19 ,של 11 הוא רק בן 2 ספרות ושל 3 ו-9 הוא רק בן סיפרה אחת. של 23 לא יהיה יותר מ-22 ספרות אך במחשבון הרגיל אין מקום לכל המחזור ולכן אינני יודעת בן כמה ספרות הוא).

אתרים נחמדים נוספים
לכולם שמות ארוכים ולכן כדאי להעבירם למועדפים ולתת כינוי קצר.
שעשועי חשבון /alefes.macam.ac.il
שברים וירטואליים www.visualfractions.com/index.htm האתר באנגלית.
שברים בכיף (האתר באנגלית) www.funbrain.com/fract/index.html
מתרגלים ולומדים (האתר באנגלית) www.schoolexpress.com/funtime/[po]math generator[/po]/index.php
מספרים וצבעים (האתר באנגלית) www.surfnetkids.com/games/colorsums.htm

כל האחרים יהיו שברים עשרוניים מחזוריים ... גודל המחזור של שבר עשרוני מחזורי... אף פעם לא יהיה גדול יותר מהמכנה
וואו .

. זה מוכח (או פשוט נבדק עד מספר ענקי ונמצא נכון)?

לעומר ס
מוכח באופן הפשוט ביותר: אין אפשרות לחלק יותר פעמים מאשר המספר במכנה. אפשר לחלק 7 לא יותר מ-6 פעמים, בפעם השביעית תחזור לשארית הראשונה.
לקחתי את 7 כדוגמה מפני שזה מקרה קלאסי שבו מספר הספרות במחזור קטן ב-1 מהמכנה.
המחזור של 7 יפה במיוחד: אותם הספרות חוזרות אבל בסיבוב, 2 הספרות הראשונות הופכות לאחרונות בכל פעם שעולים ב- 1/7 אחת.
תנסה לחלק באופן ידני ותראה את חזרת השארית הראשונה.

1/7= ...0.142857
2/7=...0.285714
3/7=...0.428571
4/7=...0.571428
5/7=...0.714285
6/7=...0.857142
וברור ש-7/7=1

9X1=09
9X2=18
9X3=27
9X4=36
9X5=45
9X6=54
9X7=63
9X8=72
9X9=81
9X10=90

שימו לב למכפלות: הטור השמאלי הוא טור עולה מ-0 עד 9. הטור הימני הוא טור יורד מ-9 עד 0.
סכום הספרות במכפלה , כידוע, תמיד יהיה 9 אבל כתיבת התרגילים ואח"כ סידור הטורים זו דרך נוספת לכפול ב-9.